Em uma folha de metal é feito um furo e, em seguida, é inserido um furo no eixo. A folga do eixo é igual à diferença entre o raio do furo e o raio do eixo. Seja a variável aleatória que indica a folga, em milímetros. A função densidade de probabilidade de é
Folhas de metal com folgas maiores do que tem que ser descartadas. Qual é a proporção de folhas descartadas? Esboce a f.d.p. de usando o e marque a região de interesse. Calcule a função de distribuição de e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma folha de metal com um furo, e estamos analisando a folga entre o furo e o eixo inserido. A folga é representada pela variável aleatória , que mede essa diferença em milímetros. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) de é dada por:
O conteúdo aqui envolve probabilidade contínua e funções de densidade de probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a f.d.p, além de saber como esboçar as funções usando o R.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a f.d.p. A função de densidade de probabilidade nos dá a densidade de probabilidade para cada valor de . A parte é uma função indicadora que vale 1 quando está no intervalo (0,1) e 0 caso contrário. Isso significa que só pode assumir valores entre 0 e 1 mm.
Passo 3
Queremos encontrar a proporção de folhas descartadas, ou seja, aquelas com folgas maiores que 0,8 mm. Matematicamente, isso é . Para isso, vamos calcular a integral da f.d.p. de de 0,8 até 1:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos a função dentro da integral:
Agora, integramos termo por termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Passo 5
Portanto, a proporção de folhas descartadas, ou seja, aquelas com folgas maiores que 0,8 mm, é de aproximadamente 0,08192, ou 8,192%.
Resposta
A proporção de folhas descartadas é de aproximadamente 8,19%.