Em uma folha de metal é feito um furo e, em seguida, é inserido um furo no eixo. A folga do eixo é igual à diferença entre o raio do furo e o raio do eixo. Seja a variável aleatória X que indica a folga, em milímetros. A função densidade de probabilidade de X é
f(x)=1,25(1-x^4) I(0,1)(x)
Folhas de metal com folgas maiores do que 0,8 mm tem que ser descartadas. Qual é a proporção de folhas descartadas? Esboce a f.d.p. de X usando o R e marque a região de interesse. Calcule a função de distribuição de X e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma folha de metal com um furo, e estamos analisando a folga entre o furo e o eixo inserido. A folga é representada pela variável aleatória f(x) = 1,25(1 - x^4) cdot I(0,1)(x) , que mede essa diferença em milímetros. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) de é dada por:
O conteúdo aqui envolve probabilidade contínua e funções de densidade de probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a f.d.p, além de saber como esboçar as funções usando o R.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a f.d.p. A função de densidade de probabilidade nos dá a densidade de probabilidade para cada valor de . A parte é uma função indicadora que vale 1 quando está no intervalo (0,1) e 0 caso contrário. Isso significa que só pode assumir valores entre 0 e 1 mm.

Passo 3

Queremos encontrar a proporção de folhas descartadas, ou seja, aquelas com folgas maiores que 0,8 mm. Matematicamente, isso é P(X > 0,8) = integral0,8^1 f(x) , dx = integral0,8^1 1,25(1 - x^4) , dx . Para isso, vamos calcular a integral da f.d.p. de de 0,8 até 1:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos a função dentro da integral:
integral0,8^1 1,25 - 1,25x^4 , dx
Agora, integramos termo por termo:
1,25 integral0,8^1 1 , dx - 1,25 integral0,8^1 x^4 , dx
Calculando cada integral:
  1. 1,25 times 0,2 - 1,25 times 0,134464 = 0,25 - 0,16808 = 0,08192
Substituindo de volta:

Passo 5

Portanto, a proporção de folhas descartadas, ou seja, aquelas com folgas maiores que 0,8 mm, é de aproximadamente 0,08192, ou 8,192%.

Resposta

A proporção de folhas descartadas é de aproximadamente 8,19%.

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