Dada a função de duas variáveis a seguir:
f(x,y) = x²y - 5xy³ + y - x. Calcule a imagem (o valor da função) para f(+5,-1) e assinale a alternativa correta.
A)-4 B)-31 C)-56 D)-6 E)+4. Dada a equação quadrática: x² - 16x + 63 = 0. Calcule e assinale a alternativa que traz sua solução.
A) S = { -7 , 9 } B) S = { -7 , -9 } C) S = { 7 , 9 } D) S = { 7 , -9 } E) S = { }. Assinale a alternativa na qual temos a equação da reta y = ax + b, que contém os pontos A(1,5) e B(3,13).
A) y = 3x - 5 B) y = 4x + 1 C) y = x + 13 D) y = x - 5 E) y = 3x + 13. Uma função polinominal do primeiro grau, ou função afim, é representada por y = a.x + b, e o gráfico dessa função no plano cartesiano é uma reta. Observe o gráfico a seguir: equacao-reta2. Agora, determine a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(3,4) representados nesse gráfico.
A) y = x + 1 B) y = -x + 1 C) y = x - 1 D) y = -x/3 + 4 E) y = x - 1/3. Temos que as derivadas primeira, segunda, terceira e assim por diante são chamadas de derivadas sucessivas, calcule a derivada sucessiva de terceira ordem da função a seguir: f(x) = -16.x^5 + 22.x³ + 18.x² - 18x + 201.
A) f´´´(x) = -80.x^4 + 66.x² + 36.x - 18 B) f´´´(x) = -960.x² + 132 C) f´´´(x) = -1920.x² D) f´´´(x) = -320.x³ + 132.x + 36 E) f´´´(x) = 201.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício! A questão nos dá uma função de duas variáveis:
f(x, y) = x^2y - 5xy^3 + y - x
E pede para calcular a imagem dessa função quando $ x = 5 $ e $ y = -1 $. Vamos precisar substituir esses valores na função e fazer as contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, substituímos $ x = 5 $ e $ y = -1 $ na função:
x = 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. $ (5)^2(-1) = 25 \cdot (-1) = -25 $
  2. $ -5 \cdot 5 \cdot (-1)^3 = -25 \cdot (-1) = 25 $
  3. $ (-1) = -1 $
  4. $ -5 = -5 $

Passo 3

Agora, somamos todos os termos:
-25 + 25 - 1 - 5
Vamos calcular passo a passo:
  1. $ -25 + 25 = 0 $
  2. $ 0 - 1 = -1 $
  3. $ -1 - 5 = -6 $

Passo 4

Vamos para o segundo exercício! A questão apresenta uma equação quadrática:
x^2 - 16x + 63 = 0
E pede para encontrar as soluções dessa equação. Vamos precisar usar a fórmula de Bhaskara para resolver.

Passo 5

A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Identificando os coeficientes da equação $ ax^2 + bx + c = 0 $:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -16 $
  • $ c = 63 $
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
ax^2 + bx + c = 0

Passo 6

Como $ \Delta = 4 $, que é positivo, temos duas soluções reais:
De
Calculando cada solução:
  1. $ x_1 = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9 $
  2. $ x_2 = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7 $

Passo 7

Continuando, temos o terceiro exercício sobre equação da reta. A equação geral é $ y = ax + b $, e precisamos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que passam pelos pontos A(1,5) e B(3,13).

Passo 8

Primeiro, vamos usar os dois pontos para formar um sistema de equações. Substituindo o ponto A(1,5):
5 = a cdot 1 + b
5 = a + b (Equação 1) çã
E substituindo o ponto B(3,13):
13 = a cdot 3 + b
13 = 3a + b (Equação 2) çã
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 9

Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(13 - 5) = (3a + b) - (a + b)
8 = 2a
a = 4
Agora, substituímos $ a = 4 $ na Equação 1:
a = 4
5 = 4 + b

Passo 10

Vamos para o quarto exercício! Temos uma função afim representada por $ y = a \cdot x + b $ e um gráfico que mostra os pontos A(1,2) e B(3,4). Precisamos determinar a equação da reta que passa por esses pontos.

Passo 11

Usando os pontos A(1,2) e B(3,4), podemos calcular a inclinação $ a $ da reta:
a
Agora que temos $ a = 1 $, podemos usar um dos pontos para encontrar $ b $. Usando o ponto A(1,2):
a = y2 - y1x2 - x1 = 4 - 23 - 1 = 22 = 1
a = 1
b

Passo 12

Com $ a = 1 $ e $ b = 1 $, a equação da reta é:
a = 1

Passo 13

Por fim, temos o quinto exercício sobre derivadas. A função dada é:
f(x) = -16x^5 + 22x^3 + 18x^2 - 18x + 201
E precisamos calcular a derivada de terceira ordem, $ f’’’(x) $.

Passo 14

Vamos calcular as derivadas sucessivas:
  1. Primeira derivada ($ f’(x) $):
f'(x)
f'(x) = ddx(-16x^5) + ddx(22x^3) + ddx(18x^2) + ddx(-18x) + ddx(201)
f'(x) = -80x^4 + 66x^2 + 36x - 18 + 0
  1. Segunda derivada ($ f’’(x) $):
f'(x) = -80x^4 + 66x^2 + 36x - 18
f''(x)
f''(x) = ddx(-80x^4) + ddx(66x^2) + ddx(36x) + ddx(-18)
  1. Terceira derivada ($ f’’’(x) $):
f''(x) = -320x^3 + 132x + 36 + 0
f''(x) = -320x^3 + 132x + 36
f'''(x)

Resposta

A derivada de terceira ordem da função é $ f’’’(x) = -960x^2 + 132 $. Portanto, a alternativa correta é a B) f’’’(x) = -960x² + 132.

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