Sejam o conjunto T = {(0, 1, 2, 3} e as seguintes relações definidas sobre ele: R1 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}; R2 = {(0, 0}, (3, 3), (0, 1), (1, 2), (3, 2), (1, 1), (2, 1), (2, 2)}; R3 = T × T, a relação universal. Das relações apresentadas nessa questão, quais podem ser consideradas reflexivas?
a. R1 e R3.
b. R2, apenas.
c. R1, apenas.
d. R2 e R3.
e. R1, R2 e R3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto $ T = {0, 1, 2, 3} $ e três relações definidas sobre ele: $ R1 $, $ R2 $ e $ R3 $. A pergunta é: quais dessas relações são reflexivas? Para responder, vamos precisar entender o que é uma relação reflexiva.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma relação ser reflexiva. Uma relação $ R $ sobre um conjunto $ T $ é reflexiva se, para todo elemento $ x $ em $ T $, o par $ (x, x) $ pertence a $ R $. Ou seja, cada elemento está relacionado consigo mesmo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada relação uma por uma para ver se elas são reflexivas.
R1 = {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}
  • Aqui, para cada elemento de $ T $, temos o par $ (x, x) $:
    • $ (0,0) $ está em $ R1 $
    • $ (1,1) $ está em $ R1 $
    • $ (2,2) $ está em $ R1 $
    • $ (3,3) $ está em $ R1 $
    Como todos os pares necessários estão presentes, $ R1 $ é reflexiva.

Passo 4

R2 = {(0,0), (3,3), (0,1), (1,2), (3,2), (1,1), (2,1), (2,2)}
  • Vamos verificar os pares $ (x, x) $ para cada $ x $ em $ T $:
    • $ (0,0) $ está em $ R2 $
    • $ (1,1) $ está em $ R2 $
    • $ (2,2) $ está em $ R2 $
    • $ (3,3) $ está em $ R2 $
    Todos os pares $ (x, x) $ estão presentes em $ R2 (x, x) ã R2 $ também é reflexiva**.

Passo 5

R3 = T × T
  • A relação $ R3 $ é a relação universal, ou seja, ela contém todos os possíveis pares $ (x, y) $ onde $ x $ e $ y $ são elementos de $ T $.
  • Isso significa que todos os pares $ (x, x) $ estão inclusos em $ R3 $.
    Portanto, $ R3 $ é reflexiva.

Resposta

e. R1, R2 e R3.

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