Dada a função
definida por:
b)
Determine
para que exista
b)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o valor de
para que o limite da função
exista quando
se aproxima de
. A função
é definida de forma diferente dependendo do valor de
:
Para que o limite
exista, precisamos garantir que os valores que
se aproxima quando
chega a
pela esquerda (valores menores que
) e pela direita (valores maiores que
) sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de limites laterais e funções por partes.
Passo 2
Calculando o Limite pela Esquerda (
)
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja, valores de
menores que
.
Nessa região, a função é definida por
.
Então,
Substituindo
por
:
Portanto,
Explicação da Teoria Aplicada:
Quando calculamos o limite pela esquerda, consideramos apenas os valores de
que são menores que o ponto de interesse (
neste caso). Usamos a parte da função que está definida para esses valores de
.
Passo 3
Calculando o Limite pela Direita (
)
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja, valores de
maiores que
.
Nessa região, a função é definida por
.
Então,
Substituindo
por
:
Portanto,
Explicação da Teoria Aplicada:
Quando calculamos o limite pela direita, consideramos apenas os valores de
que são maiores que o ponto de interesse (
neste caso). Usamos a parte da função que está definida para esses valores de
.
Passo 4
Igualando os Limites para que o Limite Geral Exista
Para que o limite
exista, os limites laterais devem ser iguais. Ou seja:
Substituindo os valores que encontramos:
Agora, vamos resolver para
:
Explicação da Teoria Aplicada:
A existência do limite geral requer que os limites pela esquerda e pela direita coincidam. Igualando esses dois valores, podemos encontrar o valor de
que satisfaz essa condição.
Resposta
O valor de
que faz o limite
existir é
.