Dada a função f definida por:
b) f(x)=lll4 x+3, & se x <=-2, 3 x+a, & se x>-2 Determine a in R para que exista lim x -2 f(x)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o valor de f(x) = 4x + 3, & se x <= -2, 3x + a, & se x > -2 para que o limite da função exista quando se aproxima de . A função é definida de forma diferente dependendo do valor de :
Para que o limite exista, precisamos garantir que os valores que se aproxima quando chega a pela esquerda (valores menores que ) e pela direita (valores maiores que ) sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de limites laterais e funções por partes.

Passo 2

Calculando o Limite pela Esquerda ( limx to -2^- f(x) = limx to -2^- (4x + 3) )
Primeiro, vamos calcular o limite de 4(-2) + 3 = -8 + 3 = -5 quando limx to -2^- f(x) = -5 se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores de menores que .
Nessa região, a função é definida por .
Então,
Substituindo por :
Portanto,
Explicação da Teoria Aplicada:
Quando calculamos o limite pela esquerda, consideramos apenas os valores de que são menores que o ponto de interesse ( neste caso). Usamos a parte da função que está definida para esses valores de .

Passo 3

Calculando o Limite pela Direita ( limx to -2^+ f(x) = limx to -2^+ (3x + a) )
Agora, vamos calcular o limite de 3(-2) + a = -6 + a quando limx to -2^+ f(x) = -6 + a se aproxima de pela direita, ou seja, valores de maiores que .
Nessa região, a função é definida por .
Então,
Substituindo por :
Portanto,
Explicação da Teoria Aplicada:
Quando calculamos o limite pela direita, consideramos apenas os valores de que são maiores que o ponto de interesse ( neste caso). Usamos a parte da função que está definida para esses valores de .

Passo 4

Igualando os Limites para que o Limite Geral Exista
Para que o limite limx to -2^- f(x) = limx to -2^+ f(x) exista, os limites laterais devem ser iguais. Ou seja:
-5 = -6 + a
Substituindo os valores que encontramos:
a = -5 + 6
Agora, vamos resolver para a = 1 :
Explicação da Teoria Aplicada:
A existência do limite geral requer que os limites pela esquerda e pela direita coincidam. Igualando esses dois valores, podemos encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Resposta

O valor de que faz o limite existir é .

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