Encontre cada um dos seguintes limites, se existirem: lim x 1^- h(x), lim x 1^+ h(x) e lim x 1 h(x) h(x)=lll4-x^2, & se & x <= 1, 2+x^2, & se & x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente precisa encontrar três limites diferentes para a função quando se aproxima de 1: pelo lado esquerdo ( ), pelo lado direito ( ) e o limite geral em . Para isso, vamos usar os conceitos básicos de limites e analisar a função definida por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função h(x) = 4 - x^2, & se x <= 1, 2 + x^2, & se x > 1 . Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo de ser menor ou igual a 1, ou maior que 1:
Isso significa que para calcular os limites laterais, vamos usar a parte da função que corresponde a cada lado de 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando limx 1^- h(x) = limx 1^- (4 - x^2) = 4 - (1)^2 = 4 - 1 = 3 se aproxima de 1 pelo lado esquerdo ( ). Isso quer dizer que estamos considerando valores de que são menores que 1, então usamos a expressão :
Então, o limite pela esquerda é 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limx 1^+ h(x) = limx 1^+ (2 + x^2) = 2 + (1)^2 = 2 + 1 = 3 se aproxima de 1 pelo lado direito ( ). Aqui, estamos considerando valores de maiores que 1, então usamos a expressão :
O limite pela direita também é 3.

Passo 5

Por fim, para encontrar o limite geral limx 1 h(x) = 3 , precisamos que os limites pela esquerda e pela direita sejam iguais. Como ambos os limites laterais são 3, podemos afirmar que:
Assim, o limite existe e é igual a 3.

Resposta

limx 1^- h(x) = 3, limx 1^+ h(x) = 3, e limx 1 h(x) = 3

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