y(4-x^2)^(1/2) dy = (4+y^2)^(1/2) dx

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é:
Estamos lidando com uma equação diferencial, que envolve derivadas de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e para integrar cada lado da equação separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . Vamos dividir ambos os lados por para isolar e :
Agora, temos em termos de , mas ainda precisamos separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para ajudar na separação:
Agora, os termos que dependem de estão do lado esquerdo e os que dependem de estão do lado direito. Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Agora precisamos resolver essas integrais.

Passo 5

Começando pela integral do lado esquerdo:
Vamos fazer uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Essa é a integral da forma , que é conhecida e resulta em:

Passo 7

Agora, igualamos as duas integrais obtidas:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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