Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é:
Estamos lidando com uma equação diferencial, que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
e
:
Agora, temos
em termos de
, mas ainda precisamos separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para ajudar na separação:
Agora, os termos que dependem de
estão do lado esquerdo e os que dependem de
estão do lado direito. Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Agora precisamos resolver essas integrais.
Passo 5
Começando pela integral do lado esquerdo:
Vamos fazer uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Essa é a integral da forma
, que é conhecida e resulta em:
Passo 7
Agora, igualamos as duas integrais obtidas:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.