Dada a função
,
Desenvolva
em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Passo 1
Beleza, temos um exercício onde precisamos desenvolver a função
em uma série de Fourier usando apenas os senos. A função está definida por partes no intervalo de 0 a 2, e vamos estender essa função de forma periódica com período 4. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente a parte que envolve funções ímpares e séries de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos é usada para representar funções que são ímpares em relação ao ponto médio do intervalo considerado. No nosso caso, como a função
está definida de 0 a 2, vamos estendê-la de forma ímpar para o intervalo de
a
, e então tornar essa extensão periódica com período 4.
Passo 3
Agora, vamos expressar a série de Fourier de senos para
. A fórmula geral para a série de Fourier de senos é:
onde
é metade do período, no nosso caso
, e os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
. Substituindo
e a definição de
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
A primeira integral é direta:
A segunda integral requer integração por partes. Tomamos
e
.
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Portanto:
Passo 7
Voltando aos coeficientes
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, observamos que para
ímpar,
alterna entre 1 e -1, e para
par, é zero. Portanto, os coeficientes
são não nulos apenas para
ímpar.
Passo 9
Finalmente, podemos escrever a série de Fourier de senos para
:
Resposta
A série de Fourier de senos para a função
é dada por:
Essa série representa a extensão periódica de
com período 4.
Exercícios relacionados
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
d)
d)
Encontre a série de Fourier da função dada.
para
e
. Resp:
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
f)
f)