Dada a função f(t) = { 1 - x, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .

Passo 1

Beleza, temos um exercício onde precisamos desenvolver a função em uma série de Fourier usando apenas os senos. A função está definida por partes no intervalo de 0 a 2, e vamos estender essa função de forma periódica com período 4. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente a parte que envolve funções ímpares e séries de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos é usada para representar funções que são ímpares em relação ao ponto médio do intervalo considerado. No nosso caso, como a função está definida de 0 a 2, vamos estendê-la de forma ímpar para o intervalo de a , e então tornar essa extensão periódica com período 4.

Passo 3

Agora, vamos expressar a série de Fourier de senos para . A fórmula geral para a série de Fourier de senos é:
onde é metade do período, no nosso caso , e os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes . Substituindo e a definição de :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
A primeira integral é direta:
A segunda integral requer integração por partes. Tomamos e .

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Portanto:

Passo 7

Voltando aos coeficientes :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 8

Agora, observamos que para ímpar, alterna entre 1 e -1, e para par, é zero. Portanto, os coeficientes são não nulos apenas para ímpar.

Passo 9

Finalmente, podemos escrever a série de Fourier de senos para :

Resposta

A série de Fourier de senos para a função é dada por:
Essa série representa a extensão periódica de com período 4.

Exercícios relacionados

Dada a função f(x) = { 0, 0 < x < 1/2 pi; 1, 1/2 pi < x < pi },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 2 pi.
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
d) lim x -2 x^3+4 x^2+4 xx^2-x-6
Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x para -pi <= x <= pi e f(x+2 pi)=f(x). Resp: 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin (n x)
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
f) lim x -infty 2 x+5raiz2 x^2-5