Dada a função
,
Desenvolva
em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida por:
O objetivo aqui é desenvolver essa função em uma série de Fourier usando apenas os cossenos (série de Fourier de co-senos) e também desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier de co-senos e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de co-senos é usada para expandir funções que são pares, ou seja, funções que satisfazem
. Nesse caso, vamos estender
de
para
de forma que seja par, garantindo que só tenham termos de cossenos na série.
Passo 3
A série de Fourier de co-senos para uma função par em um intervalo
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
No nosso caso,
, então a fórmula se simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
primeiro:
Sabendo que
de
a
e
de
a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos considerar os diferentes valores de
:
- Se
for par, . - Se
for ímpar, alterna entre e .
Portanto, só os termos ímpares contribuem para a série:
Simplificando para os ímpares:
Passo 8
Finalmente, substituindo os coeficientes na série de Fourier de co-senos, temos:
Onde
representa apenas os termos ímpares.
Resposta
A série de Fourier de co-senos para a função
é dada por:
Essa expressão representa a extensão periódica de
com período
. O gráfico dessa série será uma onda periódica que repete o padrão definido por
em cada intervalo de
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
d)
d)
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Encontre a série de Fourier da função dada.
para
e
. Resp: