Dada a função f(x) = { 0, 0 < x < 1/2 pi; 1, 1/2 pi < x < pi },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 2 pi.

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por:
O objetivo aqui é desenvolver essa função em uma série de Fourier usando apenas os cossenos (série de Fourier de co-senos) e também desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período . Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier de co-senos e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de co-senos é usada para expandir funções que são pares, ou seja, funções que satisfazem . Nesse caso, vamos estender de para de forma que seja par, garantindo que só tenham termos de cossenos na série.

Passo 3

A série de Fourier de co-senos para uma função par em um intervalo é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, , então a fórmula se simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente primeiro:
Sabendo que de a e de a :

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Isso simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos considerar os diferentes valores de :
  • Se for par, .
  • Se for ímpar, alterna entre e .
Portanto, só os termos ímpares contribuem para a série:
í
Simplificando para os ímpares:

Passo 8

Finalmente, substituindo os coeficientes na série de Fourier de co-senos, temos:
Onde representa apenas os termos ímpares.

Resposta

A série de Fourier de co-senos para a função é dada por:
Essa expressão representa a extensão periódica de com período . O gráfico dessa série será uma onda periódica que repete o padrão definido por em cada intervalo de .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
d) lim x -2 x^3+4 x^2+4 xx^2-x-6
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = 1 + x, -1 <= x <= 1, T = 2
Dada a função f(t) = { 1 - x, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .
Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x para -pi <= x <= pi e f(x+2 pi)=f(x). Resp: 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin (n x)