Dada a função
, determine: uma expressão para a inversa
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a sua função inversa, ou seja, uma expressão que, quando aplicada à saída de
, retorne o valor original de
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e como resolver equações quadráticas.
Passo 2
Vamos começar substituindo
por
para facilitar a manipulação. Assim, temos:
Passo 3
Nosso objetivo é isolar o
em termos de
. Para isso, vamos resolver a equação quadrática em relação a
. Primeiro, reescrevemos a equação:
Passo 4
Observamos que a expressão
pode ser fatorada como um quadrado perfeito:
Passo 5
Agora, para isolar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 7
Como a função quadrática
não é invertível em todo o seu domínio (porque uma função quadrática não é injetora), assumimos que definimos o domínio de
onde ela é crescente, por exemplo,
. Assim, a função inversa será válida nesse intervalo.
Resposta
A função inversa de
é:
onde
e
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de
para os quais
existe: