Dada a função , determine: uma expressão para a inversa

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua função inversa, ou seja, uma expressão que, quando aplicada à saída de , retorne o valor original de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e como resolver equações quadráticas.

Passo 2

Vamos começar substituindo por para facilitar a manipulação. Assim, temos:

Passo 3

Nosso objetivo é isolar o em termos de . Para isso, vamos resolver a equação quadrática em relação a . Primeiro, reescrevemos a equação:

Passo 4

Observamos que a expressão pode ser fatorada como um quadrado perfeito:

Passo 5

Agora, para isolar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 7

Como a função quadrática não é invertível em todo o seu domínio (porque uma função quadrática não é injetora), assumimos que definimos o domínio de onde ela é crescente, por exemplo, . Assim, a função inversa será válida nesse intervalo.

Resposta

A função inversa de é:
onde e .

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Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
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