Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x a f(x) existe:
f(x)=l 2-x se x<-1 x se -1 <= x<1 (x-1)^2 se x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função definida por partes e descobrir para quais valores de o limite existe. Isso envolve entender sobre limites de funções e como analisar funções definidas por diferentes expressões em intervalos distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Vamos esboçar o gráfico dessas três partes para visualizar melhor.

Passo 3

Parte 1: para
Essa é uma reta com inclinação e intercepto em . Ela se estende até o ponto .
Parte 2: para
Outra reta, mas com inclinação e passa pela origem. Vai de até .
Parte 3: para
Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice em . Começa em e vai para a direita.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos de transição na função, que são e . Esses pontos são onde a definição da função muda, então precisamos verificar os limites laterais nesses pontos.

Passo 5

No ponto limx to -1^- f(x) = limx to -1^- (2 - x) = 2 - (-1) = 3 :
  • Limite pela esquerda ( limx to -1^+ f(x) = limx to -1^+ x = -1 ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite não existe.

Passo 6

No ponto limx to 1^- f(x) = limx to 1^- x = 1 :
  • Limite pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0 ):
  • Limite pela direita ( ):
Aqui também, os limites laterais são diferentes ( ), então o limite não existe.

Passo 7

Para outros valores de , onde a função é contínua e definida por uma única expressão, o limite existe e é igual ao valor da função em .
Ou seja, para todo diferente de e , o limite existe.

Resposta

O limite existe para todos os valores de exceto e .

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