Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função definida por partes e descobrir para quais valores de o limite existe. Isso envolve entender sobre limites de funções e como analisar funções definidas por diferentes expressões em intervalos distintos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da função :
Para :
Para :
Para :
Vamos esboçar o gráfico dessas três partes para visualizar melhor.
Passo 3
Parte 1: para
Essa é uma reta com inclinação e intercepto em . Ela se estende até o ponto .
Parte 2: para
Outra reta, mas com inclinação e passa pela origem. Vai de até .
Parte 3: para
Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice em . Começa em e vai para a direita.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos de transição na função, que são e . Esses pontos são onde a definição da função muda, então precisamos verificar os limites laterais nesses pontos.
Passo 5
No ponto limx to -1^- f(x) = limx to -1^- (2 - x) = 2 - (-1) = 3 :
Limite pela esquerda ( limx to -1^+ f(x) = limx to -1^+ x = -1 ):
Limite pela direita ():
Como os limites laterais são diferentes (), o limite não existe.
Passo 6
No ponto limx to 1^- f(x) = limx to 1^- x = 1 :
Limite pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0 ):
Limite pela direita ():
Aqui também, os limites laterais são diferentes (), então o limite não existe.
Passo 7
Para outros valores de , onde a função é contínua e definida por uma única expressão, o limite existe e é igual ao valor da função em .
Ou seja, para todo diferente de e , o limite existe.
Resposta
O limite existe para todos os valores de exceto e .