Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de para os quais existe:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função definida por partes e descobrir para quais valores de o limite existe. Isso envolve entender sobre limites de funções e como analisar funções definidas por diferentes expressões em intervalos distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Vamos esboçar o gráfico dessas três partes para visualizar melhor.

Passo 3

Parte 1: para
Essa é uma reta com inclinação e intercepto em . Ela se estende até o ponto .
Parte 2: para
Outra reta, mas com inclinação e passa pela origem. Vai de até .
Parte 3: para
Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice em . Começa em e vai para a direita.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos de transição na função, que são e . Esses pontos são onde a definição da função muda, então precisamos verificar os limites laterais nesses pontos.

Passo 5

No ponto :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite não existe.

Passo 6

No ponto :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Aqui também, os limites laterais são diferentes ( ), então o limite não existe.

Passo 7

Para outros valores de , onde a função é contínua e definida por uma única expressão, o limite existe e é igual ao valor da função em .
Ou seja, para todo diferente de e , o limite existe.

Resposta

O limite existe para todos os valores de exceto e .

Exercícios relacionados

Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
Considere a função . (4 pontos) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).
Dada a função , determine: uma expressão para a inversa