integral t(2 t^2+1)^6 d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo envolvido aqui é a integração por substituição, que é uma técnica poderosa para resolver integrais mais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão dentro do parênteses, u = 2t^2 + 1 , parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 4t em relação a du = 4t , dt para substituir o t , dt = du4 na integral. Calculando:
Isso significa que:
Ou, rearranjando para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral t(2 t^2+1)^6 dt = integral u^6 cdot du4 e 14 integral u^6 du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples de resolver. Integrando 14 cdot u^77 + C = u^728 + C em relação a :

Passo 6

Por fim, substituímos (2t^2 + 1)^728 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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