Dada a função
Avalie os seguintes limites, se existirem.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de
. A função é definida assim:
O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois limites dessa função:
(a)
(b)
Para resolver isso, vamos lembrar que um limite nos mostra o valor que a função se aproxima quando
se aproxima de um certo ponto. Vamos seguir passo a passo para calcular esses limites.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
(a)
Quando
está se aproximando de
, precisamos ver qual parte da função está sendo usada. Olhando a definição da função:
- Para
, usamos - Para
, usamos
Como
é menor que
, usamos a primeira fórmula:
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite substituindo
por
na expressão
:
Então, o limite quando
se aproxima de
é
.
Passo 4
Agora vamos para o segundo limite:
(b)
Aqui,
está se aproximando de
, e esse ponto é onde a definição da função muda. Para lidar com isso, precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita de
.
Isso significa que vamos calcular:
-
: quando se aproxima de vindo dos valores menores (esquerda) -
: quando se aproxima de vindo dos valores maiores (direita)
Passo 5
Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Limite pela esquerda (
):
Como estamos vindo da esquerda,
, então usamos
.
Limite pela direita (
):
Agora, vindo da direita,
, então usamos
.
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a
.
Resposta
(a)
(b)