Dada a função
f(x)= 7-4 x & x<1 x^2+2 & x >= 1
Avalie os seguintes limites, se existirem.
(a) lim x -6 f(x)
(b) lim x 1 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de f(x)= 7-4 x & se x < 1 x^2+2 & se x >= 1 . A função é definida assim:
O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois limites dessa função:
(a)
(b)
Para resolver isso, vamos lembrar que um limite nos mostra o valor que a função se aproxima quando se aproxima de um certo ponto. Vamos seguir passo a passo para calcular esses limites.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
(a)
Quando está se aproximando de , precisamos ver qual parte da função está sendo usada. Olhando a definição da função:
  • Para , usamos
  • Para , usamos
Como é menor que , usamos a primeira fórmula: .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite substituindo lim x -6 f(x) = 7 - 4(-6) = 7 + 24 = 31 por na expressão :
Então, o limite quando se aproxima de é .

Passo 4

Agora vamos para o segundo limite:
(b)
Aqui, está se aproximando de , e esse ponto é onde a definição da função muda. Para lidar com isso, precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita de .
Isso significa que vamos calcular:
  • : quando se aproxima de vindo dos valores menores (esquerda)
  • : quando se aproxima de vindo dos valores maiores (direita)

Passo 5

Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Limite pela esquerda ( lim x 1^- f(x) = 7 - 4(1) = 7 - 4 = 3 ):
Como estamos vindo da esquerda, lim x 1^+ f(x) = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3 , então usamos .
Limite pela direita ( ):
Agora, vindo da direita, , então usamos .
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a .

Resposta

(a)
(b)

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