Dada a função
Avalie os seguintes limites, se existirem.
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . A função é definida assim:
O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois limites dessa função:
(a)
(b)
Para resolver isso, vamos lembrar que um limite nos mostra o valor que a função se aproxima quando se aproxima de um certo ponto. Vamos seguir passo a passo para calcular esses limites.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
(a)
Quando está se aproximando de , precisamos ver qual parte da função está sendo usada. Olhando a definição da função:
  • Para , usamos
  • Para , usamos
Como é menor que , usamos a primeira fórmula: .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite substituindo por na expressão :
Então, o limite quando se aproxima de é .

Passo 4

Agora vamos para o segundo limite:
(b)
Aqui, está se aproximando de , e esse ponto é onde a definição da função muda. Para lidar com isso, precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita de .
Isso significa que vamos calcular:
  • : quando se aproxima de vindo dos valores menores (esquerda)
  • : quando se aproxima de vindo dos valores maiores (direita)

Passo 5

Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Limite pela esquerda ( ):
Como estamos vindo da esquerda, , então usamos .
Limite pela direita ( ):
Agora, vindo da direita, , então usamos .
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a .

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Dado que e , use as propriedades de limite para calcular cada um dos seguintes limites. Se não for possível calcular qualquer um dos limites explique claramente por que não.
(a)
(b)
©
(d)
Abaixo está o gráfico de . Para cada um dos pontos dados determine o valor de e . Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)
Nos itens (a) e (b) os gráficos de e são dados. Ache os limites laterais de no ponto indicado.
(a) , no ponto 3
(b)
Determine onde a função dada é descontínua.
(a)
(b)
©
(d)