Dada a função
:
(b) Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
(b) Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor-limite da taxa de variação média da função
quando
se aproxima de 2. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo para entender como a função muda em torno do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação média. A taxa de variação média de uma função entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Isso nos mostra como a função está mudando do ponto
para o ponto
.
Passo 3
No nosso caso, queremos que
se aproxime de 2. Então, vamos chamar
e
. A fórmula fica:
Passo 4
Vamos calcular
:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, substituímos
pela expressão da função:
Então:
Passo 6
Podemos fatorar o numerador:
Então a expressão fica:
Passo 7
Agora, percebemos que
está no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Passo 8
Como
está se aproximando de 2, a expressão simplificada é válida, e o valor-limite da taxa de variação média é 3.
Resposta
O valor-limite da taxa de variação média conforme
se aproxima de 2 é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
13. , de
até
13.
Determine o valor dos seguintes limites:
(h) .
(h)
Nos exercícios 22 a 29, calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
23.
23.
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
25.
25.