Nos exercícios 22 a 29, calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
23.
23.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento do arco de uma curva dada de forma paramétrica. A curva é definida por:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais. Precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e depois calcular a integral que dá o comprimento total da curva nesse intervalo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Isso nos ajuda a entender como a curva está mudando conforme
varia.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, segundo a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, temos:
Onde
e
.
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando o 4:
Expandindo
:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos simplificar
. Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de 0 a
:
Multiplicando pelo 4:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo
é 8 unidades.
Exercícios relacionados
Dada a função
:
(b) Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
(b) Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
13. , de
até
13.
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
25.
25.
Nos exercícios 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.
35. e
35.