Nos exercícios 22 a 29, calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
23. x = 2(t - sen(t)), y = 2(1 - cos(t)), t ∈ [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento do arco de uma curva dada de forma paramétrica. A curva é definida por:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais. Precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e depois calcular a integral que dá o comprimento total da curva nesse intervalo de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . Isso nos ajuda a entender como a curva está mudando conforme varia.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, segundo a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, temos:
Onde e .
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando o 4:
Expandindo :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, a integral fica:
Sabemos que , então:

Passo 6

Vamos simplificar . Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de 0 a :
Multiplicando pelo 4:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo é 8 unidades.

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