Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
13. , de até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida pela equação , indo do ponto até . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de comprimento de arco de curvas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da curva: . Queremos expressar em termos de para facilitar a aplicação da fórmula do comprimento de arco. Assim, isolamos :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco utiliza essa derivada. Vamos derivar a expressão que encontramos:
Passo 4
A fórmula para o comprimento do arco de uma curva parametrizada por é:
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Infelizmente, essa integral não possui uma solução analítica simples, então vamos precisar calculá-la numericamente.
Passo 6
Para calcular a integral numericamente, podemos usar métodos de integração como o método dos trapézios ou Simpson. Mas aqui, vou apresentar o resultado final utilizando uma calculadora de integrais:
Resposta
O comprimento do arco da curva do ponto até é aproximadamente 15,24 unidades.