Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
13. (y-1)²=(x+4)³, de P0(-3,2) até P1(0,9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida pela equação , indo do ponto até . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de comprimento de arco de curvas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da curva: . Queremos expressar em termos de para facilitar a aplicação da fórmula do comprimento de arco. Assim, isolamos :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco utiliza essa derivada. Vamos derivar a expressão que encontramos:

Passo 4

A fórmula para o comprimento do arco de uma curva parametrizada por é:
Substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Infelizmente, essa integral não possui uma solução analítica simples, então vamos precisar calculá-la numericamente.

Passo 6

Para calcular a integral numericamente, podemos usar métodos de integração como o método dos trapézios ou Simpson. Mas aqui, vou apresentar o resultado final utilizando uma calculadora de integrais:

Resposta

O comprimento do arco da curva do ponto até é aproximadamente 15,24 unidades.

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Determine o valor dos seguintes limites:
(h) lim y 1 5 y^3+8 y^23 y^4-16 y^2.
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26. { x = 3t + 2, y = t - 1, t em [0, 2] }
Dada a função f(x) = 3x - 2 :
(b) Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
Nos exercícios 22 a 29, calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
23. x = 2(t - sen(t)), y = 2(1 - cos(t)), t ∈ [0, pi]