Dada a função
f(x)=x cdot integral0^ln x e^t^2 d t, x in[1, e]
determine a derivada de f em relação a x, d fd x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por
f(x) = x cdot integral0^ln x e^t^2 , dt, x in [1, e]
O objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é o produto de duas funções:
Quando temos o produto de duas funções, precisamos aplicar a regra do produto para encontrar a derivada.

Passo 3

A regra do produto diz que:
ddx[u(x) cdot v(x)] = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Vamos calcular cada parte:
  • A derivada de é .
  • Precisamos agora encontrar , que é a derivada de .

Passo 4

Para encontrar v'(x) = e^(ln x)^2 cdot ddx(ln x) , usamos o teorema fundamental do cálculo combinado com a regra da cadeia. O teorema fundamental do cálculo nos diz que se temos uma integral com limite superior que é uma função de v'(x) = e^(ln x)^2 cdot 1x , a derivada é:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos dfdx = 1 cdot integral0^ln x e^t^2 , dt + x cdot ( e^(ln x)^2 cdot 1x ) , dfdx = integral0^ln x e^t^2 , dt + e^(ln x)^2 e na regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A derivada de dfdx = integral0^ln x e^t^2 , dt + e^(ln x)^2 em relação a é

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