Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial. A equação é:
E sabemos que quando
,
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar integrais para encontrar a função
. Basicamente, vamos integrar a derivada para encontrar
e depois ajustar a constante de integração usando o valor inicial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com
e
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Podemos reescrever
como
. Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com
e
:
Passo 5
Juntando as duas integrais, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Logo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Dada a função
determine a derivada de
em relação a
.
Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Resolva as integrais indefinidas a seguir: