Resolva o seguinte problema de valor inicial:
d/dx y = 4/(x^2 - 4x + 5) + 3^(1-x), y(2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial. A equação é:
E sabemos que quando , . Para resolver essa equação, vamos precisar usar integrais para encontrar a função . Basicamente, vamos integrar a derivada para encontrar e depois ajustar a constante de integração usando o valor inicial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com e :

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Podemos reescrever como . Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com e :

Passo 5

Juntando as duas integrais, a expressão para fica:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Sabemos que e , então:
Logo:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Dada a função
f(x)=x cdot integral0^ln x e^t^2 d t, x in[1, e]
determine a derivada de f em relação a x, d fd x.
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