Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e também transformar o logaritmo de base 2 para a base natural, que é mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo de base 2 pode ser convertido para a base natural (ln) usando a seguinte fórmula:
Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
-
(pois sua derivada simplifica a expressão) -
(pois sua integral é fácil de encontrar)
Passo 4
Calculamos
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando a integral restante:
Passo 6
Integral de
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Lembrando que tudo isso estava multiplicado por
, voltamos à nossa integral original:
Simplificando:
Resposta
A integral resolvida é:
Exercícios relacionados
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Dada a função
determine a derivada de
em relação a
.
Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Faça um esboço da região delimitada pelas curvas
e
, e pelas retas
e
.