Dada a função
, determine: Concavidade do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos determinar a concavidade do gráfico dela. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente da análise de derivadas para entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade. A concavidade de uma função nos diz se o gráfico está “sorrindo” para cima (concavo para cima) ou “sorrindo” para baixo (concavo para baixo). Para descobrir isso, a gente precisa calcular a segunda derivada da função
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. Derivando
obtemos
e derivando
obtemos
. Então:
Passo 5
A concavidade é determinada pelo sinal da segunda derivada
:
- Se
, o gráfico é concavo para cima. - Se
, o gráfico é concavo para baixo.
Vamos analisar o sinal de
.
Passo 6
Vamos resolver a inequação
para encontrar onde a concavidade é para cima:
Então, para
, o gráfico é concavo para cima.
Agora, para
:
Então, para
, o gráfico é concavo para baixo.
Resposta
O gráfico da função
é concavo para cima quando
e concavo para baixo quando
.