Dada a função f(x) = -x^3 - 3x^2, determine: Concavidade do gráfico;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos determinar a concavidade do gráfico dela. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente da análise de derivadas para entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade. A concavidade de uma função nos diz se o gráfico está “sorrindo” para cima (concavo para cima) ou “sorrindo” para baixo (concavo para baixo). Para descobrir isso, a gente precisa calcular a segunda derivada da função .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . Derivando obtemos e derivando obtemos . Então:

Passo 5

A concavidade é determinada pelo sinal da segunda derivada :
  • Se , o gráfico é concavo para cima.
  • Se , o gráfico é concavo para baixo.
Vamos analisar o sinal de .

Passo 6

Vamos resolver a inequação para encontrar onde a concavidade é para cima:
Então, para , o gráfico é concavo para cima.
Agora, para :
Então, para , o gráfico é concavo para baixo.

Resposta

O gráfico da função é concavo para cima quando e concavo para baixo quando .

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