Dada a função f(x) = -x^3 - 3x^2, determine: Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, derivadas para encontrar pontos importantes como máximos e mínimos, e analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função cruza os eixos. Para encontrar os zeros da função (onde ), resolvemos:
Fatorando:
Então, (com multiplicidade 2) e . Isso nos dá os pontos onde a função toca o eixo x: (0,0) e (-3,0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para saber onde estão os pontos de máximo e mínimo. A derivada de é:
Para achar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Então, e .

Passo 4

Vamos analisar esses pontos críticos. Para , verificamos a segunda derivada:
Em , , que é negativo, indicando um ponto de máximo.
Para :
Como é positivo, temos um ponto de mínimo.
Calculando os valores de nesses pontos:
Então, temos um máximo em (0,0) e um mínimo em (-2,-4).

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e ao menos infinito:
  • Quando , .
  • Quando , .
Isso nos ajuda a entender como a função se comporta nas extremidades do gráfico.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Ponto de máximo em (0,0).
  • Ponto de mínimo em (-2,-4).
  • A função cruza o eixo x em (0,0) e (-3,0).
  • Vai indo para quando e para quando .

Resposta

O gráfico de possui um ponto de máximo em (0,0), um ponto de mínimo em (-2,-4), cruza o eixo x em (0,0) e (-3,0), e se estende para à direita e para à esquerda. Com esses pontos, dá pra desenhar a curva que sobe até o máximo, desce até o mínimo, cruza o eixo e continua descendo.

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