Dada a função
, determine: Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, derivadas para encontrar pontos importantes como máximos e mínimos, e analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função cruza os eixos. Para encontrar os zeros da função (onde
), resolvemos:
Fatorando:
Então,
(com multiplicidade 2) e
. Isso nos dá os pontos onde a função toca o eixo x: (0,0) e (-3,0).
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para saber onde estão os pontos de máximo e mínimo. A derivada de
é:
Para achar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Então,
e
.
Passo 4
Vamos analisar esses pontos críticos. Para
, verificamos a segunda derivada:
Em
,
, que é negativo, indicando um ponto de máximo.
Para
:
Como é positivo, temos um ponto de mínimo.
Calculando os valores de
nesses pontos:
Então, temos um máximo em (0,0) e um mínimo em (-2,-4).
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e ao menos infinito:
- Quando
, . - Quando
, .
Isso nos ajuda a entender como a função se comporta nas extremidades do gráfico.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Ponto de máximo em (0,0).
- Ponto de mínimo em (-2,-4).
- A função cruza o eixo x em (0,0) e (-3,0).
- Vai indo para
quando e para quando .
Resposta
O gráfico de
possui um ponto de máximo em (0,0), um ponto de mínimo em (-2,-4), cruza o eixo x em (0,0) e (-3,0), e se estende para
à direita e para
à esquerda. Com esses pontos, dá pra desenhar a curva que sobe até o máximo, desce até o mínimo, cruza o eixo e continua descendo.