Dada a função
, determine: Intervalos crescentes e decrescentes;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função
está crescente e decrescente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, indica se a função está subindo ou descendo nesse ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:
Passo 4
Esses valores
e
são os pontos onde a função pode mudar de comportamento. Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos críticos.
Os intervalos são:
Passo 5
Vamos testar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
, vamos escolher :
O resultado é negativo, então a função está decrescente nesse intervalo.
- Para
, vamos escolher :
O resultado é positivo, então a função está crescente nesse intervalo.
- Para
, vamos escolher :
O resultado é negativo, então a função está decrescente nesse intervalo.
Resposta
A função
é:
- Decrescente nos intervalos
e - Crescente no intervalo