Dada a função f(x) = -x^3 - 3x^2, determine: Intervalos crescentes e decrescentes;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função está crescente e decrescente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, indica se a função está subindo ou descendo nesse ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:

Passo 4

Esses valores e são os pontos onde a função pode mudar de comportamento. Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos críticos.
Os intervalos são:

Passo 5

Vamos testar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para , vamos escolher :
O resultado é negativo, então a função está decrescente nesse intervalo.
  1. Para , vamos escolher :
O resultado é positivo, então a função está crescente nesse intervalo.
  1. Para , vamos escolher :
O resultado é negativo, então a função está decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função é:
  • Decrescente nos intervalos e
  • Crescente no intervalo

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