Dada a função
, determine: Ponto máximo e ponto mínimo;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Isso envolve derivadas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar onde ela tem inclinação zero, que são os candidatos a máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função. Usamos as regras de derivação para cada termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, onde
. Isso vai nos dar os pontos críticos:
Vamos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, vamos determinar se cada ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada, que nos ajuda a saber a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que temos um ponto de máximo em
.
Para
:
Como
, isso indica que temos um ponto de mínimo em
.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.