Dada a função f(x) = -x^3 - 3x^2, determine: Ponto máximo e ponto mínimo;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Isso envolve derivadas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar onde ela tem inclinação zero, que são os candidatos a máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função. Usamos as regras de derivação para cada termo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, onde . Isso vai nos dar os pontos críticos:
Vamos fatorar:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com os valores de encontrados, vamos determinar se cada ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada, que nos ajuda a saber a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que temos um ponto de máximo em .
Para :
Como , isso indica que temos um ponto de mínimo em .

Resposta

A função tem um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

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