Passo 1
Então, temos que calcular o limite
. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
se aproxima de zero e utilizar propriedades de limites e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. A expressão
pode ser escrita como
. Agora, temos:
Passo 3
Para resolver esse limite, vamos usar a seguinte propriedade dos limites:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
Sabemos que, próximo de zero,
, pois a função tangente se comporta de forma linear perto de zero. Então, podemos aproximar:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite
.
Sabemos que, quando
se aproxima de zero por valores positivos,
tende a
, mas multiplicado por
, que tende a zero. Esse é um caso do tipo
, que podemos reescrever como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:
Resposta
Portanto, o limite original é: