lim x 0^+ 1x^tg x

Passo 1

Então, temos que calcular o limite . Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de zero e utilizar propriedades de limites e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. A expressão limx 0^+ x^-tan x pode ser escrita como . Agora, temos:

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos usar a seguinte propriedade dos limites:
limx a f(x)^g(x) = e^limx a g(x) cdot ln f(x)
Aplicando isso à nossa expressão:
limx 0^+ x^-tan x = e^limx 0^+ (-tan x) cdot ln x

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
limx 0^+ (-tan x) cdot ln x
Sabemos que, próximo de zero, -tan x cdot ln x approx -x cdot ln x , pois a função tangente se comporta de forma linear perto de zero. Então, podemos aproximar:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite limx 0^+ -ln x1x .
Sabemos que, quando limx 0^+ -1x-1x^2 = limx 0^+ x = 0 se aproxima de zero por valores positivos, tende a , mas multiplicado por , que tende a zero. Esse é um caso do tipo , que podemos reescrever como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:

Resposta

Portanto, o limite original é:
limx 0^+ 1x^tan x = e^0 = 1

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