Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = 1 + x, -1 <= x <= 1, T = 2

Passo 1

Então, você precisa determinar a série de Fourier da função , definida no intervalo com período . Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier para resolver isso, calculando os coeficientes necessários para expressar a função como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período pode ser escrita como:
onde . No nosso caso, então .

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para os termos de cosseno:
Dividimos a integral em duas partes:
A primeira integral é zero porque é uma função par e é simétrico, mas devido à multiplicação por 1, apenas a parte com contribui.
Calculando a segunda integral usando integração por partes:
Avaliada de -1 a 1, resulta em:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para os termos de seno:
Novamente, dividimos a integral:
A primeira integral é zero porque é uma função ímpar e o intervalo é simétrico. A segunda integral também é zero por similar razão, já que é o produto de uma função par ( ) com ímpar ( ), resultando em uma função ímpar cuja integral em um intervalo simétrico é zero.
Portanto, para todo .

Resposta

A série de Fourier da função no período é:

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