Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Então, você precisa determinar a série de Fourier da função
, definida no intervalo
com período
. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier para resolver isso, calculando os coeficientes necessários para expressar a função como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período
pode ser escrita como:
onde
. No nosso caso,
então
.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os termos de cosseno:
Dividimos a integral em duas partes:
A primeira integral é zero porque
é uma função par e
é simétrico, mas devido à multiplicação por 1, apenas a parte com
contribui.
Calculando a segunda integral usando integração por partes:
Avaliada de -1 a 1, resulta em:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os termos de seno:
Novamente, dividimos a integral:
A primeira integral é zero porque
é uma função ímpar e o intervalo é simétrico. A segunda integral também é zero por similar razão, já que é o produto de uma função par (
) com ímpar (
), resultando em uma função ímpar cuja integral em um intervalo simétrico é zero.
Portanto,
para todo
.
Resposta
A série de Fourier da função
no período
é:
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Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
m)
m)
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
i)
i)
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
d)
d)
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva