Dada a função , verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
No ponto de x0 = 5
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se a derivada dessa função existe no ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas laterais e como elas se comportam em pontos onde a função muda de expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a derivada existir em um ponto, as derivadas à esquerda e à direita desse ponto precisam ser iguais.
No nosso caso, é onde a função muda de para .
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela esquerda de 5, ou seja, para valores de um pouquinho menores que 5, usando a expressão .
A derivada de em relação a é:
Então, a derivada à esquerda de 5 é .
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 5, ou seja, para valores de um pouquinho maiores que 5, usando a expressão constante .
A derivada de uma constante é sempre zero:
Então, a derivada à direita de 5 é .
Passo 5
Comparamos as derivadas laterais:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em não são iguais, a derivada não existe nesse ponto.
Resposta
A derivada de no ponto não existe porque as derivadas laterais são diferentes.