Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
No ponto de x0 = 5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se a derivada dessa função existe no ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas laterais e como elas se comportam em pontos onde a função muda de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a derivada existir em um ponto, as derivadas à esquerda e à direita desse ponto precisam ser iguais.
No nosso caso, é onde a função muda de para .

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela esquerda de 5, ou seja, para valores de um pouquinho menores que 5, usando a expressão .
A derivada de em relação a é:
Então, a derivada à esquerda de 5 é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 5, ou seja, para valores de um pouquinho maiores que 5, usando a expressão constante .
A derivada de uma constante é sempre zero:
Então, a derivada à direita de 5 é .

Passo 5

Comparamos as derivadas laterais:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em não são iguais, a derivada não existe nesse ponto.

Resposta

A derivada de no ponto não existe porque as derivadas laterais são diferentes.

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