Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
Isso significa que a gente precisa encontrar uma função que, quando derivada duas vezes e combinada conforme a equação, iguala o lado direito . Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea () com uma solução particular ().
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por :
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: e .
Para a parte :
Como já é uma solução da homogênea (), precisamos multiplicar por para não repetir a solução. Então, vamos supor uma solução da forma:
Para a parte :
Aqui, o lado direito é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos supor uma solução particular da forma:
Passo 6
Agora, vamos juntar as duas soluções particulares:
Substituímos na equação original e resolvemos para encontrar os coeficientes e . Após realizar as derivadas e igualar os termos, conseguimos determinar esses valores.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e são coeficientes determinados ao resolver a equação após substituir na equação original.