Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 2y' - 3y = x(e^(3x) + 1)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
Isso significa que a gente precisa encontrar uma função que, quando derivada duas vezes e combinada conforme a equação, iguala o lado direito . Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) com uma solução particular ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: e .
Para a parte :
Como já é uma solução da homogênea ( ), precisamos multiplicar por para não repetir a solução. Então, vamos supor uma solução da forma:
Para a parte :
Aqui, o lado direito é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos supor uma solução particular da forma:

Passo 6

Agora, vamos juntar as duas soluções particulares:
Substituímos na equação original e resolvemos para encontrar os coeficientes e . Após realizar as derivadas e igualar os termos, conseguimos determinar esses valores.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e são coeficientes determinados ao resolver a equação após substituir na equação original.

Exercícios relacionados

Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
No ponto de x0 = 5
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 5y' + 6y = e^x + 3x
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - y' + y = x^3 + 6
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y = sen(2x) con y(0) = 1 e y'(0) = 2