Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - y' + y = x^3 + 6

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que auxilia a encontrar soluções exponenciais da forma .

Passo 3

Montamos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de terceiro grau, vamos supor que também seja um polinômio de terceiro grau:
onde , , e são coeficientes a serem determinados.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
  4. Substituindo e na quarta equação: .

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados