Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que auxilia a encontrar soluções exponenciais da forma .
Passo 3
Montamos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de terceiro grau, vamos supor que também seja um polinômio de terceiro grau:
onde , , e são coeficientes a serem determinados.
Passo 5
Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo e na terceira equação: .
Substituindo e na quarta equação: .
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: