Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.

Passo 1

Vamos analisar a série usando o teste de comparação no limite. Isso significa que vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge, para determinar o comportamento da série original.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral da série para facilitar a comparação. Observamos que, à medida que cresce, o termo domina sobre . Então, podemos aproximar:
Assim, o termo geral fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, escolhemos uma série de referência para comparar. Uma boa opção é a série . Sabemos que uma série p, , converge se e diverge se . Aqui, , então a série comparativa diverge.

Passo 4

Aplicamos o teste de comparação no limite calculando o limite do quociente entre os termos das duas séries:

Passo 5

Como o limite é uma constante positiva diferente de zero ( ) e a série comparativa diverge, pelo teste de comparação no limite, podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período .
Encontre nos seguintes exercícios as derivadas e sem eliminar o parâmetro
(e)
Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
Dada a função , com . Determine a série de Fourier de .