Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem. sumn=1^infty 1raiz[3]8 n^2-3 n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty 1raiz[3]8 n^2-3 n usando o teste de comparação no limite. Isso significa que vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge, para determinar o comportamento da série original.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral da série para facilitar a comparação. Observamos que, à medida que n cresce, o termo 8n^2 domina sobre -3n. Então, podemos aproximar:
raiz[3]8 n^2-3 n approx raiz[3]8 n^2 = 2 n^2/3
Assim, o termo geral fica aproximadamente:
1raiz[3]8 n^2-3 n approx 12 n^2/3

Passo 3

Agora, escolhemos uma série de referência para comparar. Uma boa opção é a série bn = 1n^2/3. Sabemos que uma série p, sum 1n^p, converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 23 < 1, então a série comparativa sum 1n^2/3 diverge.

Passo 4

Aplicamos o teste de comparação no limite calculando o limite do quociente entre os termos das duas séries:

Passo 5

Como o limite é uma constante positiva diferente de zero ( 12 > 0) e a série comparativa sum 1n^2/3 diverge, pelo teste de comparação no limite, podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raiz[3]8 n^2-3 n diverge.

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