Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Vamos analisar a série
usando o teste de comparação no limite. Isso significa que vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge, para determinar o comportamento da série original.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o termo geral da série para facilitar a comparação. Observamos que, à medida que
cresce, o termo
domina sobre
. Então, podemos aproximar:
Assim, o termo geral fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, escolhemos uma série de referência para comparar. Uma boa opção é a série
. Sabemos que uma série p,
, converge se
e diverge se
. Aqui,
, então a série comparativa
diverge.
Passo 4
Aplicamos o teste de comparação no limite calculando o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 5
Como o limite é uma constante positiva diferente de zero (
) e a série comparativa
diverge, pelo teste de comparação no limite, podemos concluir que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
Encontre nos seguintes exercícios as derivadas
e
sem eliminar o parâmetro
(e)
(e)
Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
Dada a função
, com
. Determine a série de Fourier de
.