Dada a função
, use os limites para determinar todas as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçar o gráfico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar todas as assíntotas verticais e horizontais usando limites. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre assíntotas, limites e como elas se relacionam com o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar encontrando as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto.
Primeiro, encontramos as raízes do denominador:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as raízes são:
Então, temos pontos onde o denominador é zero:
e
.
Agora, verificamos o numerador nesses pontos:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando
tende para mais ou menos infinito.
Observamos o comportamento de
quando
tende para
ou
.
Dividimos o numerador e o denominador por
, o maior grau no denominador:
Quando
tende para
ou
:
Portanto:
Logo, a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Com as assíntotas identificadas, podemos esboçar o gráfico da função.
- Assíntotas verticais: Linhas verticais em
e . - Assíntota horizontal: Linha horizontal em
.
Além disso, analisamos que a função cruza o eixo
quando
, ou seja, quando o numerador é zero:
Portanto, a função passa pela origem.
Resposta
As assíntotas verticais da função são
e
, e a assíntota horizontal é
. O gráfico apresenta essas assíntotas e cruza o eixo
na origem.