Dada a função , use os limites para determinar todas as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçar o gráfico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar todas as assíntotas verticais e horizontais usando limites. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre assíntotas, limites e como elas se relacionam com o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar encontrando as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto.
Primeiro, encontramos as raízes do denominador:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as raízes são:
Então, temos pontos onde o denominador é zero: e .
Agora, verificamos o numerador nesses pontos:
Para :
(indefinido)
Para :
(indefinido)
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos assíntotas verticais em e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando tende para mais ou menos infinito.
Observamos o comportamento de quando tende para ou .
Dividimos o numerador e o denominador por , o maior grau no denominador:
Quando tende para ou :
Portanto:
Logo, a assíntota horizontal é .
Passo 4
Com as assíntotas identificadas, podemos esboçar o gráfico da função.
Assíntotas verticais: Linhas verticais em e .
Assíntota horizontal: Linha horizontal em .
Além disso, analisamos que a função cruza o eixo quando , ou seja, quando o numerador é zero:
Portanto, a função passa pela origem.
Resposta
As assíntotas verticais da função são e , e a assíntota horizontal é . O gráfico apresenta essas assíntotas e cruza o eixo na origem.