Esboce os gráficos das funções abaixo e verifique se elas são contínuas nos pontos indicados: ; continua em ? E em ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar os gráficos da função dada e verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que a gente tem:
Essa é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos começar desenhando o gráfico para cada parte da função:
Para : A função é . Isso é uma função exponencial decrescente.
Para : A função é constante, igual a 2.
Para : A função é linear, , que é uma reta com inclinação positiva.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em .
Limite à esquerda de 0: Quando se aproxima de 0 vindo de valores negativos, usamos . Sabemos que .
Valor da função em 0: Pela definição, .
Como o limite à esquerda (1) é diferente do valor da função (2), a função não é contínua em .
Passo 5
Vamos agora verificar a continuidade em .
Limite à esquerda de 2: Quando se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2, a função é constante e igual a 2.
Valor da função em 2: Usamos a expressão . Substituindo , temos .
Limite à direita de 2: Novamente, usando , o limite também é 2.
Como todos os limites (esquerda e direita) e o valor da função em 2 são iguais a 2, a função é contínua em .