Esboce os gráficos das funções abaixo e verifique se elas são contínuas nos pontos indicados:
; continua em ? E em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar os gráficos da função dada e verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que a gente tem:
Essa é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos começar desenhando o gráfico para cada parte da função:
  • Para : A função é . Isso é uma função exponencial decrescente.
  • Para : A função é constante, igual a 2.
  • Para : A função é linear, , que é uma reta com inclinação positiva.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em .
  • Limite à esquerda de 0: Quando se aproxima de 0 vindo de valores negativos, usamos . Sabemos que .
  • Valor da função em 0: Pela definição, .
    Como o limite à esquerda (1) é diferente do valor da função (2), a função não é contínua em .

Passo 5

Vamos agora verificar a continuidade em .
  • Limite à esquerda de 2: Quando se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2, a função é constante e igual a 2.
  • Valor da função em 2: Usamos a expressão . Substituindo , temos .
  • Limite à direita de 2: Novamente, usando , o limite também é 2.
    Como todos os limites (esquerda e direita) e o valor da função em 2 são iguais a 2, a função é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em , mas é contínua em .

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções abaixo e verifique se elas são contínuas nos pontos indicados:
; contínua em ?
Dada a função , use os limites para determinar todas as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçar o gráfico.
Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .