Sendo
uma constante e
, onde
e
, sabendo que
é diferenciável mostre que: (OBS: use a regra da cadeia).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre derivadas parciais e a regra da cadeia. A gente tem uma função
, onde
e
são funções de
e
envolvendo um ângulo
. Nosso objetivo é mostrar que a soma das segundas derivadas de
em relação a
e
é igual à soma das segundas derivadas de
em relação a
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as relações entre as variáveis. Temos:
Essas são transformações lineares que relacionam
e
com
e
. Nosso
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
E de maneira similar para
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Substituindo esses valores nas equações anteriores, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiro,
:
Usando novamente a regra da cadeia:
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 7
Agora, vamos somar
e
:
Passo 8
Sabemos que
(essa é a identidade trigonométrica fundamental), então:
Porque os termos com
se cancelam.
Resposta
Então, mostramos que:
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine as derivadas parciais:
Dada a função
, determine:
a) o domínio em
a) o domínio em
Faça a tabela da função que leva
em
e desenhe o seu gráfico;
Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação: