Sendo alpha uma constante e w=f(u, v), onde u=x cos alpha-y sen alpha e v=x sen alpha+y cos alpha, sabendo que f é diferenciável mostre que: (OBS: use a regra da cadeia).
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=partial^2 wpartial u^2+partial^2 wpartial v^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre derivadas parciais e a regra da cadeia. A gente tem uma função w = f(u, v), onde u e v são funções de x e y envolvendo um ângulo alpha. Nosso objetivo é mostrar que a soma das segundas derivadas de w em relação a x e y é igual à soma das segundas derivadas de w em relação a u e v. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre as variáveis. Temos:
u = x cos alpha - y sin alpha
v = x sin alpha + y cos alpha
Essas são transformações lineares que relacionam u e v com x e y. Nosso w depende de u e v, que por sua vez dependem de x e y.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de w em relação a x e y usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
partial wpartial x = partial wpartial u cdot partial upartial x + partial wpartial v cdot partial vpartial x
E de maneira similar para partial wpartial y:
partial wpartial y = partial wpartial u cdot partial upartial y + partial wpartial v cdot partial vpartial y

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u e v em relação a x e y:
partial upartial x = cos alpha ; partial upartial y = -sin alpha
partial vpartial x = sin alpha ; partial vpartial y = cos alpha
Substituindo esses valores nas equações anteriores, temos:
partial wpartial x = partial wpartial u cos alpha + partial wpartial v sin alpha
partial wpartial y = partial wpartial u (-sin alpha) + partial wpartial v cos alpha

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiro, partial^2 wpartial x^2:
partial^2 wpartial x^2 = partialpartial x ( partial wpartial x ) = partialpartial x ( partial wpartial u cos alpha + partial wpartial v sin alpha )
Usando novamente a regra da cadeia:
partial^2 wpartial x^2 = partial^2 wpartial u^2 (cos alpha)^2 + 2 partial^2 wpartial u partial v cos alpha sin alpha + partial^2 wpartial v^2 (sin alpha)^2

Passo 6

Fazendo o mesmo para partial^2 wpartial y^2:
partial^2 wpartial y^2 = partialpartial y ( partial wpartial y ) = partialpartial y ( partial wpartial u (-sin alpha) + partial wpartial v cos alpha )
Aplicando a regra da cadeia novamente:
partial^2 wpartial y^2 = partial^2 wpartial u^2 (sin alpha)^2 - 2 partial^2 wpartial u partial v sin alpha cos alpha + partial^2 wpartial v^2 (cos alpha)^2

Passo 7

Agora, vamos somar partial^2 wpartial x^2 e partial^2 wpartial y^2:
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 = ( partial^2 wpartial u^2 (cos^2 alpha + sin^2 alpha) ) + ( partial^2 wpartial v^2 (sin^2 alpha + cos^2 alpha) ) + ( 2 partial^2 wpartial u partial v cos alpha sin alpha - 2 partial^2 wpartial u partial v sin alpha cos alpha )

Passo 8

Sabemos que cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1 (essa é a identidade trigonométrica fundamental), então:
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 = partial^2 wpartial u^2 + partial^2 wpartial v^2 + 0
Porque os termos com partial^2 wpartial u partial v se cancelam.

Resposta

Então, mostramos que:
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 = partial^2 wpartial u^2 + partial^2 wpartial v^2

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