Dada a função
f(x)= x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
Responda:
(i) Existe lim x 0 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma função definida por partes e pede para descobrir se o limite quando se aproxima de 0 existe. Vamos utilizar conceitos de limites laterais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz perto de . A função tem duas expressões diferentes para valores de próximos a 0:
  • Para ,
  • Para ,
Como queremos o limite quando se aproxima de 0, precisamos olhar tanto pela esquerda quanto pela direita de 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x^2 - 1) se aproximando de 0 pelo lado negativo):
(0)^2 - 1 = -1
Substituímos por 0:
Então, o limite pela esquerda é -1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (2x) se aproximando de 0 pelo lado positivo):
2 times 0 = 0
Substituímos por 0:
Então, o limite pela direita é 0.

Passo 5

Para o limite geral existir em um ponto, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Aqui, vimos que:
limx to 0^- f(x) = -1
limx to 0^+ f(x) = 0

Passo 6

Como , os limites laterais são diferentes. Portanto, o limite geral quando se aproxima de 0 não existe.

Resposta

Não, o limite de quando se aproxima de 0 não existe.

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