Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a equação diferencial não é exata. Depois disso, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata e, por fim, resolver a equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e multiplicação por fator integrante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que possamos analisar se ela é exata. A equação dada é:
Podemos rearranjar para:
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem: , onde aqui e .
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial das funções envolvidas coincide. No entanto, como essa é uma equação linear e não está na forma exata clássica , vamos seguir com o método do fator integrante para resolver.
Passo 4
O fator integrante para equações lineares é dado por:
Aqui, , então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Passo 6
A equação multiplicada pelo fator integrante se torna:
Isso porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .