Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a equação diferencial não é exata. Depois disso, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata e, por fim, resolver a equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e multiplicação por fator integrante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que possamos analisar se ela é exata. A equação dada é:
Podemos rearranjar para:
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem: , onde aqui e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial das funções envolvidas coincide. No entanto, como essa é uma equação linear e não está na forma exata clássica , vamos seguir com o método do fator integrante para resolver.

Passo 4

O fator integrante para equações lineares é dado por:
Aqui, , então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 6

A equação multiplicada pelo fator integrante se torna:
Isso porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.
Encontre a derivada da função dada.
©
Dada a função
Responda:
(i) Existe
Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.