Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
-seny
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação não é exata, mas que dá pra torná-la exata multiplicando por um fator integrante. Depois disso, vamos resolver a equação. Para isso, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e como encontrar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A forma geral de uma equação diferencial exata é , onde existe uma função tal que . Para isso, temos que:
No nosso caso, e . Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante se torna exata. Geralmente, tentamos um fator integrante que depende apenas de , ou seja, .
A condição para que torne a equação exata é:
No nosso caso:
Isso nos dá:
Integrando ambos os lados:
Como é uma constante, podemos simplificar para .

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.

Passo 5

Verificando a exatidão da nova equação:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata agora.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função tal que . Integramos em relação a :
Para encontrar , diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando :
Fazendo integração por partes, onde e :
Então, a função fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Dada a função
Responda:
(i) Existe
(a) Mostre que, se , então
Considere uma caixa isolada termicamente (um edifício, talvez) com temperatura interna . De acordo com a lei de resfriamento de Newton, satisfaz a equação diferencial
Onde é a temperatura ambiente (externa). Suponha que varia senoidalmente, por exemplo, suponha que
Resolva a equação diferencial e expresse em função de e . Observe que parte da sua solução tende a zero quando trona-se muito grande; essa é chamada de parte transiente. A parte restante da solução é chamada de estado estacionário. Denote-a por . coswt + wsenwt