Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
-seny
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial dada por
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação não é exata, mas que dá pra torná-la exata multiplicando por um fator integrante. Depois disso, vamos resolver a equação. Para isso, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e como encontrar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A forma geral de uma equação diferencial exata é
, onde existe uma função
tal que
. Para isso, temos que:
No nosso caso,
e
. Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante se torna exata. Geralmente, tentamos um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
A condição para que
torne a equação exata é:
No nosso caso:
Isso nos dá:
Integrando ambos os lados:
Como
é uma constante, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.
Passo 5
Verificando a exatidão da nova equação:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata agora.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função
tal que
. Integramos
em relação a
:
Para encontrar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando
:
Fazendo integração por partes, onde
e
:
Então, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.