Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações. -seny
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação não é exata, mas que dá pra torná-la exata multiplicando por um fator integrante. Depois disso, vamos resolver a equação. Para isso, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e como encontrar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A forma geral de uma equação diferencial exata é , onde existe uma função tal que . Para isso, temos que:
No nosso caso, e . Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante se torna exata. Geralmente, tentamos um fator integrante que depende apenas de , ou seja, .
A condição para que torne a equação exata é:
No nosso caso:
Isso nos dá:
Integrando ambos os lados:
Como é uma constante, podemos simplificar para .
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.
Passo 5
Verificando a exatidão da nova equação:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata agora.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função tal que . Integramos em relação a :
Para encontrar , diferenciamos em relação a e igualamos a :