Dada a função de onda Psi=psi1 s(r1, Z1 s) psi1 s(r2, Z1 s) psi2 s(r3, Z2 s) e o correspondente hamiltoniano H para o átomo de lítio (Z=3), após um longo desenvolvimento, o resultado para o valor esperado do hamiltoniano é dado por:
lang<=Hrang<==(-2 Z1 s^2-Z2 s^24+54 Z1 s5+16 Z2 s25) E1
onde E1=-13,6 eV.
Estime a energia do estado fundamental do lítio. Compare com o valor experimental de E=-203.5 eV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para o átomo de lítio e uma expressão para o valor esperado do hamiltoniano desse átomo. Nosso objetivo é estimar a energia do estado fundamental do lítio usando essa expressão e depois comparar com o valor experimental que é de -203,5 eV. Para isso, vamos precisar usar conceitos da mecânica quântica, especialmente o método variacional, que nos ajuda a encontrar aproximações para a energia de sistemas complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que nos foi dada para o valor esperado do hamiltoniano:
lang<=Hrang<= = (-2 Z1 s^2 - Z2 s^24 + 54 Z1 s5 + 16 Z2 s25) E1
Sabemos que E1 = -13,6 eV. Nosso objetivo é encontrar os valores de Z1s e Z2s que minimizam essa energia, ou seja, que nos dão a melhor estimativa para a energia do estado fundamental do lítio.

Passo 3

Para encontrar esses valores ótimos de Z1s e Z2s, vamos utilizar o método variacional. Esse método nos diz que, ao minimizar o valor esperado da energia, obtemos uma aproximação para a energia verdadeira do sistema. Matemáticamente, isso significa que precisamos encontrar o mínimo da função lang<=Hrang<= em relação a Z1s e Z2s.

Passo 4

Vamos então derivar a expressão de lang<=Hrang<= em relação a Z1s e igualar a zero para encontrar o mínimo:
partial lang<=Hrang<=partial Z1s = 0
E fazer o mesmo para Z2s:
partial lang<=Hrang<=partial Z2s = 0
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores ótimos de Z1s e Z2s.

Passo 5

Vamos calcular a derivada em relação a Z1s:
partial lang<=Hrang<=partial Z1s = (-4 Z1s + 545) E1 = 0
Isolando Z1s:
-4 Z1s + 545 = 0 Rightarrow Z1s = 545 times 4 = 5420 = 2,7

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada em relação a Z2s:
partial lang<=Hrang<=partial Z2s = (-Z2s2 + 1625) E1 = 0
Isolando Z2s:
-Z2s2 + 1625 = 0 Rightarrow Z2s = 1625 times 2 = 3225 = 1,28

Passo 7

Agora que temos os valores ótimos de Z1s = 2,7 e Z2s = 1,28, vamos substituir esses valores na expressão original para lang<=Hrang<=:
lang<=Hrang<= = (-2 (2,7)^2 - (1,28)^24 + 54 times 2,75 + 16 times 1,2825) times (-13,6 eV)
Calculando cada termo:
  1. -2 (2,7)^2 = -2 times 7,29 = -14,58
  2. -(1,28)^24 = -1,63844 = -0,4096
  3. 54 times 2,75 = 145,85 = 29,16
  4. 16 times 1,2825 = 20,4825 = 0,8192
Somando tudo:
-14,58 - 0,4096 + 29,16 + 0,8192 = 14,9896
Multiplicando por E1 = -13,6 eV:
lang<=Hrang<= = 14,9896 times (-13,6) approx -203,825 eV

Resposta

A energia estimada para o estado fundamental do lítio é de aproximadamente -203,8 eV, o que está muito próximo do valor experimental de -203,5 eV.

Exercícios relacionados