Dada a função de onda e o correspondente hamiltoniano para o átomo de lítio , após um longo desenvolvimento, o resultado para o valor esperado do hamiltoniano é dado por:
onde .
Estime a energia do estado fundamental do lítio. Compare com o valor experimental de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para o átomo de lítio e uma expressão para o valor esperado do hamiltoniano desse átomo. Nosso objetivo é estimar a energia do estado fundamental do lítio usando essa expressão e depois comparar com o valor experimental que é de . Para isso, vamos precisar usar conceitos da mecânica quântica, especialmente o método variacional, que nos ajuda a encontrar aproximações para a energia de sistemas complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que nos foi dada para o valor esperado do hamiltoniano:
Sabemos que . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que minimizam essa energia, ou seja, que nos dão a melhor estimativa para a energia do estado fundamental do lítio.

Passo 3

Para encontrar esses valores ótimos de e , vamos utilizar o método variacional. Esse método nos diz que, ao minimizar o valor esperado da energia, obtemos uma aproximação para a energia verdadeira do sistema. Matemáticamente, isso significa que precisamos encontrar o mínimo da função em relação a e .

Passo 4

Vamos então derivar a expressão de em relação a e igualar a zero para encontrar o mínimo:
E fazer o mesmo para :
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores ótimos de e .

Passo 5

Vamos calcular a derivada em relação a :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada em relação a :
Isolando :

Passo 7

Agora que temos os valores ótimos de e , vamos substituir esses valores na expressão original para :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Multiplicando por :

Resposta

A energia estimada para o estado fundamental do lítio é de aproximadamente , o que está muito próximo do valor experimental de .

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