Dada a função de onda
e o correspondente hamiltoniano
para o átomo de lítio
, após um longo desenvolvimento, o resultado para o valor esperado do hamiltoniano é dado por:
onde
.
Estime a energia do estado fundamental do lítio. Compare com o valor experimental de
.
Estime a energia do estado fundamental do lítio. Compare com o valor experimental de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para o átomo de lítio e uma expressão para o valor esperado do hamiltoniano desse átomo. Nosso objetivo é estimar a energia do estado fundamental do lítio usando essa expressão e depois comparar com o valor experimental que é de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos da mecânica quântica, especialmente o método variacional, que nos ajuda a encontrar aproximações para a energia de sistemas complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a expressão que nos foi dada para o valor esperado do hamiltoniano:
Sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que minimizam essa energia, ou seja, que nos dão a melhor estimativa para a energia do estado fundamental do lítio.
Passo 3
Para encontrar esses valores ótimos de
e
, vamos utilizar o método variacional. Esse método nos diz que, ao minimizar o valor esperado da energia, obtemos uma aproximação para a energia verdadeira do sistema. Matemáticamente, isso significa que precisamos encontrar o mínimo da função
em relação a
e
.
Passo 4
Vamos então derivar a expressão de
em relação a
e igualar a zero para encontrar o mínimo:
E fazer o mesmo para
:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores ótimos de
e
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada em relação a
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada em relação a
:
Isolando
:
Passo 7
Agora que temos os valores ótimos de
e
, vamos substituir esses valores na expressão original para
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Multiplicando por
:
Resposta
A energia estimada para o estado fundamental do lítio é de aproximadamente
, o que está muito próximo do valor experimental de
.