Neste problema iremos utilizar o método variacional para estimar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. Vimos que o valor exato é
Para a função teste podemos utilizar uma função gaussiana normalizada
com
e
sendo o parâmetro de ajuste. Portanto, determine
tal que
e então calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai usar o método variacional para estimar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especificamente como calcular a energia usando uma função teste. Vamos precisar entender como montar a função gaussiana normalizada e depois ajustar um parâmetro para minimizar a energia esperada.
Passo 2
Primeiro, a gente tem que calcular a energia esperada,
, com a função teste
. Essa energia é dada por:
Como a função já está normalizada, a expressão simplifica para apenas calcular
.
Passo 3
A Hamiltoniana do átomo de hidrogênio é:
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a energia cinética:
E depois a energia potencial:
Passo 4
Vamos calcular a energia cinética
. Aplicando a derivada, temos:
Então,
porque a integral de
é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial
:
A integral resulta em
, então:
Passo 6
Agora, juntando as duas energias, temos a energia esperada total:
Para encontrar o mínimo, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação para
:
Simplificando:
Elevando ambos os lados à potência
:
Passo 8
Finalmente, substituímos o valor de
na expressão da energia esperada para encontrar
:
Após calcular com os valores das constantes, obtemos a energia mínima.
Resposta
A energia mínima estimada usando o método variacional é
, que coincide com o valor exato do estado fundamental do átomo de hidrogênio.
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e o correspondente hamiltoniano
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onde
.
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(b)
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