Neste problema iremos utilizar o método variacional para estimar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. Vimos que o valor exato é
E1=-me e^432 pi^2 epsilon0^2 hbar^2=-13,6 eV
Para a função teste podemos utilizar uma função gaussiana normalizada
phi(r)=A e^-b r^2
com A=(2 bpi)^3 / 4 e b sendo o parâmetro de ajuste. Portanto, determine b tal que dlang<=Hrang<=d b=0 e então calcule lang<=Hrang<= min .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai usar o método variacional para estimar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especificamente como calcular a energia usando uma função teste. Vamos precisar entender como montar a função gaussiana normalizada e depois ajustar um parâmetro para minimizar a energia esperada.

Passo 2

Primeiro, a gente tem que calcular a energia esperada, lang<= H rang<= = lang<= phi | H | phi rang<=lang<= phi | phi rang<= , com a função teste . Essa energia é dada por:
Como a função já está normalizada, a expressão simplifica para apenas calcular .

Passo 3

A Hamiltoniana do átomo de hidrogênio é:
H = -hbar^22me nabla^2 - e^24pi epsilon0 r
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a energia cinética:
lang<= T rang<= = integral phi^* ( -hbar^22me nabla^2 ) phi , d^3r
E depois a energia potencial:
lang<= V rang<= = integral phi^* ( -e^24pi epsilon0 r ) phi , d^3r

Passo 4

Vamos calcular a energia cinética nabla^2phi = (4b^2r^2 - 6b ) phi . Aplicando a derivada, temos:
lang<= T rang<= = hbar^22me integral phi (6b - 4b^2r^2) phi , d^3r = hbar^22me (6b)
Então,
porque a integral de é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial lang<= V rang<= = -e^24pi epsilon0 integral phi^2r , d^3r :
lang<= V rang<= = -e^24pi epsilon0 cdot raizpi2b^1/2 = -e^2 raizpi8pi epsilon0 b^1/2 = -e^28 epsilon0 b^1/2
A integral resulta em , então:

Passo 6

Agora, juntando as duas energias, temos a energia esperada total:
lang<= H rang<= = hbar^22me (6b) - e^28 epsilon0 b^1/2
Para encontrar o mínimo, derivamos essa expressão em relação a dlang<= H rang<=db = hbar^22me (6) + e^216 epsilon0 b^3/2 = 0 e igualamos a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação para hbar^2 cdot 62me = e^216 epsilon0 b^3/2 :
b^3/2 = e^216 epsilon0 cdot 2me6 hbar^2 = e^2 me48 epsilon0 hbar^2
Simplificando:
b = ( e^2 me48 epsilon0 hbar^2 )^2/3
Elevando ambos os lados à potência :

Passo 8

Finalmente, substituímos o valor de lang<= H rang<=min = hbar^22me (6b) - e^28 epsilon0 b^1/2 na expressão da energia esperada para encontrar :
Após calcular com os valores das constantes, obtemos a energia mínima.

Resposta

A energia mínima estimada usando o método variacional é , que coincide com o valor exato do estado fundamental do átomo de hidrogênio.

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