Neste problema iremos utilizar o método variacional para estimar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. Vimos que o valor exato é
Para a função teste podemos utilizar uma função gaussiana normalizada
com e sendo o parâmetro de ajuste. Portanto, determine tal que e então calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai usar o método variacional para estimar a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especificamente como calcular a energia usando uma função teste. Vamos precisar entender como montar a função gaussiana normalizada e depois ajustar um parâmetro para minimizar a energia esperada.

Passo 2

Primeiro, a gente tem que calcular a energia esperada, , com a função teste . Essa energia é dada por:
Como a função já está normalizada, a expressão simplifica para apenas calcular .

Passo 3

A Hamiltoniana do átomo de hidrogênio é:
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a energia cinética:
E depois a energia potencial:

Passo 4

Vamos calcular a energia cinética . Aplicando a derivada, temos:
Então,
porque a integral de é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial :
A integral resulta em , então:

Passo 6

Agora, juntando as duas energias, temos a energia esperada total:
Para encontrar o mínimo, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação para :
Simplificando:
Elevando ambos os lados à potência :

Passo 8

Finalmente, substituímos o valor de na expressão da energia esperada para encontrar :
Após calcular com os valores das constantes, obtemos a energia mínima.

Resposta

A energia mínima estimada usando o método variacional é , que coincide com o valor exato do estado fundamental do átomo de hidrogênio.

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onde .
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Expresse o valor exato de cada expressão.
(b)