Dada a função de onda
do estado fundamental do átomo de hidrogênio:
, onde
é o raio de Bohr e
é uma constante real positiva.
Usando a condição de normalização da função de onda
determine a constante
. Dica:
.
Usando a condição de normalização da função de onda
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é dada por
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante
usando a condição de normalização da função de onda. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde a normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar integrar o módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição de normalização formalmente. A condição nos diz que:
Aqui,
é o módulo ao quadrado da função de onda, e
é o elemento de volume em coordenadas esféricas. Nossa função de onda é
, então:
Passo 3
Substituindo
na condição de normalização, temos:
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral sobre
:
Passo 4
Agora, a integral sobre
:
Isso porque a integral de
de
a
é igual a 2. Então, até agora temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral radial. A dica que a gente tem é:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na equação anterior:
Os 4 cancelam:
Passo 7
Agora, isolamos
:
E tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A constante
é igual a
.