Dada a função de onda Psi(r) do estado fundamental do átomo de hidrogênio: Psi(r)=C e^-r / a, onde a é o raio de Bohr e C é uma constante real positiva.
Usando a condição de normalização da função de onda
integral0^infty d r integral0^pi d theta integral0^2 pi d phi|Psi|^2 r^2 sin theta=1
determine a constante C. Dica: integral0^infty r^2 e^-A r d r=2 / A^3.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é dada por Psi(r) = C e^-r / a. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante C usando a condição de normalização da função de onda. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde a normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar integrar o módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização formalmente. A condição nos diz que:
integral0^infty dr integral0^pi dtheta integral0^2pi dphi , |Psi|^2 , r^2 sintheta = 1
Aqui, |Psi|^2 é o módulo ao quadrado da função de onda, e r^2 sintheta é o elemento de volume em coordenadas esféricas. Nossa função de onda é Psi(r) = C e^-r / a, então:
|Psi|^2 = C^2 e^-2r / a

Passo 3

Substituindo |Psi|^2 na condição de normalização, temos:
C^2 integral0^infty dr , e^-2r / a , r^2 integral0^pi dtheta , sintheta integral0^2pi dphi = 1
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral sobre phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 4

Agora, a integral sobre theta:
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Isso porque a integral de sintheta de 0 a pi é igual a 2. Então, até agora temos:
C^2 cdot 2pi cdot 2 cdot integral0^infty r^2 e^-2r / a dr = 1
Simplificando:
4pi C^2 integral0^infty r^2 e^-2r / a dr = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral radial. A dica que a gente tem é:
integral0^infty r^2 e^-A r dr = 2A^3
No nosso caso, A = 2a, então:
integral0^infty r^2 e^-2r / a dr = 2(2a)^3 = 28a^3 = a^34

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na equação anterior:
4pi C^2 cdot a^34 = 1
Os 4 cancelam:
pi C^2 a^3 = 1

Passo 7

Agora, isolamos C^2:
C^2 = 1pi a^3
E tirando a raiz quadrada para encontrar C:
C = raiz1pi a^3 = 1raizpi a^3/2

Resposta

A constante C é igual a dfrac1raizpi , a^3/2.

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