Dada a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio: , onde é o raio de Bohr e é uma constante real positiva.
Usando a condição de normalização da função de onda
determine a constante . Dica: .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante usando a condição de normalização da função de onda. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde a normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar integrar o módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização formalmente. A condição nos diz que:
Aqui, é o módulo ao quadrado da função de onda, e é o elemento de volume em coordenadas esféricas. Nossa função de onda é , então:

Passo 3

Substituindo na condição de normalização, temos:
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral sobre :

Passo 4

Agora, a integral sobre :
Isso porque a integral de de a é igual a 2. Então, até agora temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral radial. A dica que a gente tem é:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na equação anterior:
Os 4 cancelam:

Passo 7

Agora, isolamos :
E tirando a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A constante é igual a .

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