Duas cargas pontuais Q e -Q estão em (0, d / 2,0) e (0,-d / 2,0). Demonstre que a intensidade do potencial elétrico no ponto (rho, theta, phi) para r gg d é V=Q d sin theta sin phi / 4 pi epsilon0 r^2. Calcule a intensidade do campo elétrico.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas pontuais, uma com carga e outra com carga , posicionadas ao longo do eixo em e , respectivamente. Queremos encontrar a intensidade do potencial elétrico no ponto quando a distância desse ponto às cargas é muito maior que (ou seja, ). Depois disso, precisamos calcular também a intensidade do campo elétrico nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de potencial elétrico de dipolo e como calcular campos elétricos a partir dos potenciais.

Passo 2

Vamos começar calculando o potencial elétrico devido a cada carga no ponto V = 14pi epsilon0 cdot Qr . O potencial elétrico devido a uma carga pontual em uma distância é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos duas cargas, Vtotal = VQ + V-Q e , devemos calcular o potencial total como a soma dos potenciais individuais:
Cada potencial será calculado na posição para cada carga.

Passo 4

Vamos expressar as distâncias das cargas ao ponto rQ approx r - d2 sintheta sinphi . Usando coordenadas esféricas, e assumindo que r-Q approx r + d2 sintheta sinphi , podemos aproximar as distâncias como:
Essas aproximações vêm da expansão em série de Taylor para .

Passo 5

Substituindo essas aproximações no potencial, temos:
VQ approx 14pi epsilon0 cdot Qr - d2 sintheta sinphi
V-Q approx 14pi epsilon0 cdot -Qr + d2 sintheta sinphi
Para simplificar, usamos uma expansão de primeira ordem para 1r pm d2 sintheta sinphi approx 1r (1 mp d2r sintheta sinphi ) :

Passo 6

Agora, somando os dois potenciais:
Vtotal = Q4pi epsilon0 r (1 + d2r sintheta sinphi ) - Q4pi epsilon0 r (1 - d2r sintheta sinphi )
Vtotal = Q4pi epsilon0 r ( dr sintheta sinphi )
Vtotal = Q d sintheta sinphi4pi epsilon0 r^2

Passo 7

Agora que temos o potencial elétrico, vamos calcular o campo elétrico E = -nabla V a partir dele. O campo elétrico é relacionado ao potencial pela relação:
nabla V = partial Vpartial r r + 1r partial Vpartial theta theta + 1r sintheta partial Vpartial phi phi
Em coordenadas esféricas, o gradiente de é dado por:

Passo 8

Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial r = -2Q d sintheta sinphi4pi epsilon0 r^3
partial Vpartial theta = Q d costheta sinphi4pi epsilon0 r^2
partial Vpartial phi = Q d sintheta cosphi4pi epsilon0 r^2

Passo 9

Substituindo essas derivadas na expressão do campo elétrico:
E = -( -2Q d sintheta sinphi4pi epsilon0 r^3 r + 1r cdot Q d costheta sinphi4pi epsilon0 r^2 theta + 1r sintheta cdot Q d sintheta cosphi4pi epsilon0 r^2 phi )
Simplificando:
E = Q d sintheta sinphi2pi epsilon0 r^3 r - Q d costheta sinphi4pi epsilon0 r^3 theta - Q d cosphi4pi epsilon0 r^3 phi

Resposta

A intensidade do potencial elétrico no ponto V = Q d sintheta sinphi4pi epsilon0 r^2 é:
E = Q d sintheta sinphi2pi epsilon0 r^3 r - Q d costheta sinphi4pi epsilon0 r^3 theta - Q d cosphi4pi epsilon0 r^3 phi
E a intensidade do campo el��trico correspondente é:

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