Duas cargas pontuais e estão em e . Demonstre que a intensidade do potencial elétrico no ponto para é . Calcule a intensidade do campo elétrico.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas pontuais, uma com carga e outra com carga , posicionadas ao longo do eixo em e , respectivamente. Queremos encontrar a intensidade do potencial elétrico no ponto quando a distância desse ponto às cargas é muito maior que (ou seja, ). Depois disso, precisamos calcular também a intensidade do campo elétrico nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de potencial elétrico de dipolo e como calcular campos elétricos a partir dos potenciais.

Passo 2

Vamos começar calculando o potencial elétrico devido a cada carga no ponto . O potencial elétrico devido a uma carga pontual em uma distância é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos duas cargas, e , devemos calcular o potencial total como a soma dos potenciais individuais:
Cada potencial será calculado na posição para cada carga.

Passo 4

Vamos expressar as distâncias das cargas ao ponto . Usando coordenadas esféricas, e assumindo que , podemos aproximar as distâncias como:
Essas aproximações vêm da expansão em série de Taylor para .

Passo 5

Substituindo essas aproximações no potencial, temos:
Para simplificar, usamos uma expansão de primeira ordem para :

Passo 6

Agora, somando os dois potenciais:

Passo 7

Agora que temos o potencial elétrico, vamos calcular o campo elétrico a partir dele. O campo elétrico é relacionado ao potencial pela relação:
Em coordenadas esféricas, o gradiente de é dado por:

Passo 8

Calculando as derivadas parciais:

Passo 9

Substituindo essas derivadas na expressão do campo elétrico:
Simplificando:

Resposta

A intensidade do potencial elétrico no ponto é:
E a intensidade do campo el��trico correspondente é:

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