Duas cargas pontuais
e
estão em
e
. Demonstre que a intensidade do potencial elétrico no ponto
para
é
. Calcule a intensidade do campo elétrico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas pontuais, uma com carga
e outra com carga
, posicionadas ao longo do eixo
em
e
, respectivamente. Queremos encontrar a intensidade do potencial elétrico no ponto
quando a distância
desse ponto às cargas é muito maior que
(ou seja,
). Depois disso, precisamos calcular também a intensidade do campo elétrico nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de potencial elétrico de dipolo e como calcular campos elétricos a partir dos potenciais.
Passo 2
Vamos começar calculando o potencial elétrico devido a cada carga no ponto
. O potencial elétrico
devido a uma carga pontual
em uma distância
é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos duas cargas,
e
, devemos calcular o potencial total como a soma dos potenciais individuais:
Cada potencial será calculado na posição
para cada carga.
Passo 4
Vamos expressar as distâncias das cargas ao ponto
. Usando coordenadas esféricas, e assumindo que
, podemos aproximar as distâncias como:
Essas aproximações vêm da expansão em série de Taylor para
.
Passo 5
Substituindo essas aproximações no potencial, temos:
Para simplificar, usamos uma expansão de primeira ordem para
:
Passo 6
Agora, somando os dois potenciais:
Passo 7
Agora que temos o potencial elétrico, vamos calcular o campo elétrico
a partir dele. O campo elétrico é relacionado ao potencial pela relação:
Em coordenadas esféricas, o gradiente de
é dado por:
Passo 8
Calculando as derivadas parciais:
Passo 9
Substituindo essas derivadas na expressão do campo elétrico:
Simplificando:
Resposta
A intensidade do potencial elétrico no ponto
é:
E a intensidade do campo el��trico correspondente é: