Dada a função polinomial de segundo grau, f(x)= x² – 4x + 1, definida em R, sua imagem é:
Im(f)={y∈R∣ y≥−3}
Im(f)={y∈R∣ y≤−3}
Im(f)={y∈R∣ y≤3}
Im(f)={y∈R∣ y≤2}
Im(f)={y∈R∣ y≥2}

Passo 1

Estamos trabalhando com a função quadrática $ f(x) = x^2 - 4x + 1 $. Nosso objetivo é encontrar a imagem dessa função, ou seja, todos os valores de $ y $ que $ f(x) $ pode assumir quando $ x $ varia em todos os números reais. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções do segundo grau, especialmente a análise do vértice da parábola representada por $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da função quadrática:
  • $ a = 1 $ (coeficiente de $ x^2 $)
  • $ b = -4 $ (coeficiente de $ x $)
  • $ c = 1 $ (termo constante)

Passo 3

Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. O sinal do coeficiente $ a $ nos diz para qual lado a parábola está voltada:
  • Se $ a > 0 $, a parábola abre para cima.
  • Se $ a < 0 $, a parábola abre para baixo.
No nosso caso, $ a = 1 > 0 $, então a parábola está voltada para cima. Isso significa que a função tem um valor mínimo, e a imagem será todos os valores maiores ou iguais a esse mínimo.

Passo 4

Para encontrar o valor mínimo da função, precisamos localizar o vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
x
Substituindo os valores:
xv = -b2a

Passo 5

Agora, calculamos o valor de $ f(x_v) $ para encontrar o mínimo da função:
f(xv)
Então, o valor mínimo da função é $ -3 $.

Passo 6

Já que a parábola está voltada para cima e o mínimo é $ -3 $, a imagem da função $ f $ é todos os valores de $ y $ que são maiores ou iguais a $ -3 $.

Resposta

Im(f) = { y ∈ ℝ | y ≥ −3 }

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