Um clube recreativo possui 800 sócios e cobra uma mensalidade de R$ 200,00 de cada sócio. Uma pesquisa de mercado indica que a cada R$ 1,00 de redução na mensalidade, há um aumento de 10 sócios. O valor da mensalidade que gera a maior receita é de:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um clube que tem 800 sócios e cobra uma mensalidade de R$ 200,00 de cada um. A pesquisa mostrou que, para cada redução de R$ 1,00 na mensalidade, o número de sócios aumenta em 10. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor da mensalidade que gera a maior receita para o clube.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos entender o que é “receita”. Receita é o quanto o clube ganha no total, que se calcula multiplicando o valor que cada sócio paga pela quantidade de sócios.
Matematicamente, podemos escrever a Receita ® como:
R = Mensalidade times Número de Sócios úó

Passo 3

Agora, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar de $ x $ a quantidade de reais que a mensalidade será reduzida. Isso significa que a nova mensalidade será:
x

Passo 4

Com essa redução de $ x $ reais, o número de sócios aumenta 10 vezes $ x $. Então, o novo número de sócios será:
x úó

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da Receita, temos:
R = (200 - x) times (800 + 10x)

Passo 6

Agora, vamos expandir essa equação para facilitar o cálculo:
R = 200 times 800 + 200 times 10x - x times 800 - x times 10x
R = 160,000 + 2,000x - 800x - 10x^2
R = 160,000 + 1,200x - 10x^2

Passo 7

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a Receita, observamos que a equação da Receita é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo). O ponto máximo dessa parábola ocorre no vértice.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ é:
x
No nosso caso, $ a = -10 $ e $ b = 1,200 $. Substituindo:
x^2
ax^2 + bx + c
x = -b2a

Passo 8

Agora que sabemos que $ x = 60 x = 60 60,00 para que a Receita seja máxima.
Então, a nova mensalidade será:
60,00 para que a Receita seja máxima Então, a nova mensalidade será:

Resposta

A mensalidade que gera a maior receita é de R$ 140,00.

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