Um clube recreativo possui 800 sócios e cobra uma mensalidade de R$ 200,00 de cada sócio. Uma pesquisa de mercado indica que a cada R$ 1,00 de redução na mensalidade, há um aumento de 10 sócios. O valor da mensalidade que gera a maior receita é de:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um clube que tem 800 sócios e cobra uma mensalidade de R$ 200,00 de cada um. A pesquisa mostrou que, para cada redução de R$ 1,00 na mensalidade, o número de sócios aumenta em 10. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor da mensalidade que gera a maior receita para o clube.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos entender o que é “receita”. Receita é o quanto o clube ganha no total, que se calcula multiplicando o valor que cada sócio paga pela quantidade de sócios.
Matematicamente, podemos escrever a Receita ® como:
Passo 3
Agora, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar de $ x $ a quantidade de reais que a mensalidade será reduzida. Isso significa que a nova mensalidade será:
Passo 4
Com essa redução de $ x $ reais, o número de sócios aumenta 10 vezes $ x $. Então, o novo número de sócios será:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da Receita, temos:
Passo 6
Agora, vamos expandir essa equação para facilitar o cálculo:
Passo 7
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a Receita, observamos que a equação da Receita é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo). O ponto máximo dessa parábola ocorre no vértice.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ é:
No nosso caso, $ a = -10 $ e $ b = 1,200 $. Substituindo:
Passo 8
Agora que sabemos que $ x = 60
60,00 para que a Receita seja máxima.
Então, a nova mensalidade será:
Resposta
A mensalidade que gera a maior receita é de R$ 140,00.