Dada a função z=sen(x)^* cos (y)+1 e os intervalos x=(0, Pi) e y=(-Pi, Pi)
Faça a dupla integração de z nos intervalos dados (manualmente ou utilizando ferramentas de cálculo simbólico)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa dupla integral juntos! A questão pede para calcular a integral dupla da função nos intervalos e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a integral0^pi integral-pi^pi ( sen(x) cos(y) + 1 ) dy , dx e depois em relação a :

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes usando a propriedade da soma nas integrais:

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral interna integral-pi^pi cos(y) dy = sen(y) |-pi^pi = sen(pi) - sen(-pi) = 0 - 0 = 0 :
Sabemos que a integral de sen(x) times 0 = 0 ao longo de um período completo é zero, porque:
Portanto, a primeira parte da integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral interna integral-pi^pi 1 , dy = y |-pi^pi = pi - (-pi) = 2pi :

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais internas na integral iterada, temos:
integral0^pi ( 0 + 2pi ) dx = 2pi integral0^pi dx

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a última integral:
2pi integral0^pi dx = 2pi times x |0^pi = 2pi (pi - 0) = 2pi^2

Resposta

2pi^2

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