Dada a função e os intervalos e
Faça a dupla integração de z nos intervalos dados (manualmente ou utilizando ferramentas de cálculo simbólico)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa dupla integral juntos! A questão pede para calcular a integral dupla da função nos intervalos e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a e depois em relação a :
Passo 3
Agora, vamos separar a integral em duas partes usando a propriedade da soma nas integrais:
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral interna :
Sabemos que a integral de ao longo de um período completo é zero, porque:
Portanto, a primeira parte da integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda integral interna :
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais internas na integral iterada, temos: