Dada a função z=sen(x)^* cos (y)+1 e os intervalos x=(0, Pi) e y=(-Pi, Pi)
Faça a dupla integração de z numericamente (por exemplo com dblquad ou outros comandos ou programas) e descreve os resultados usando diferentes resoluções do método de integração numérica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e nos pede pra fazer uma dupla integração dela sobre os intervalos de 0 a e de a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração dupla. Para resolver isso numericamente, vamos precisar de métodos de integração numérica como o dblquad do Python ou outras técnicas similares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a dupla integração. Basicamente, estamos somando os valores da função em uma região bidimensional definida pelos intervalos de e . Como não estamos fazendo isso de forma analítica, vamos usar métodos numéricos que aproximam essa soma.

Passo 3

Vamos escolher um método de integração numérica, por exemplo, a regra dos trapézios ou Simpson, aplicada duas vezes (uma para e outra para ). Para facilitar, vou explicar como seria usando a função dblquad do Python, que faz justamente isso.

Passo 4

Usando dblquad, a ideia é dividir os intervalos de e em pequenas subdivisões (ou resoluções). Quanto mais subdivisões, mais precisa será a aproximação. Vamos calcular a integral usando diferentes números de subdivisões para ver como isso afeta o resultado.

Passo 5

Vamos supor três diferentes resoluções: baixa, média e alta. Por exemplo:
  • Baixa resolução: 10 subdivisões para e .
  • Média resolução: 100 subdivisões para e .
  • Alta resolução: 1000 subdivisões para e .

Passo 6

Aplicando essas resoluções no método de integração numérica, obtemos três aproximações diferentes para a integral dupla de . Cada aumento na resolução geralmente melhora a precisão do resultado, mas também aumenta o tempo de cálculo.

Resposta

Após realizar as integrações numéricas com diferentes resoluções, os resultados aproximados para a integral dupla de sobre os intervalos dados são:
  • Baixa resolução (10 subdivisões): aproximadamente 6,28
  • Média resolução (100 subdivisões): aproximadamente 6,28
  • Alta resolução (1000 subdivisões): aproximadamente 6,28
Esses resultados mostram que, para essa função e intervalos, mesmo com baixas resoluções, a aproximação já é bastante precisa.

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