Utilize um programa para fazer as operações seguintes:
Faça a integração numérica utilizando o método dos retângulos e o método dos trapézios, ambos com várias resoluções numéricos (no mínimo 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para realizar integrações numéricas usando dois métodos diferentes: o método dos retângulos e o método dos trapézios. Para isso, vamos precisar de um programa de computador que consiga fazer esses cálculos. Vamos também variar a resolução numérica, ou seja, usar diferentes números de subdivisões para ver como isso afeta o resultado da integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é integração numérica. É uma técnica usada para calcular a área sob uma curva quando não podemos encontrar a integral exata de uma função de forma simples. Existem vários métodos para isso, e vamos focar em dois: o método dos retângulos e o método dos trapézios.

Passo 3

Método dos Retângulos: Nesse método, dividimos a área sob a curva em vários retângulos. A altura de cada retângulo é determinada pelo valor da função em um ponto específico dentro do intervalo. A soma das áreas desses retângulos nos dá uma aproximação da integral.
Matematicamente, a integral de de a é aproximada por:
Onde:
  • é o número de retângulos.
  • é a largura de cada retângulo.
  • é o ponto onde calculamos a altura do retângulo.

Passo 4

Método dos Trapézios: Aqui, em vez de retângulos, usamos trapézios para aproximar a área sob a curva. A vantagem desse método é que ele considera a inclinação da curva, resultando em uma aproximação geralmente mais precisa.
A fórmula para o método dos trapézios é:
Onde:
  • Os termos são os mesmos do método dos retângulos.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre resolução numérica. Isso se refere ao número de subdivisões que usamos para dividir o intervalo . Quanto maior for , mais subdivisões teremos e, geralmente, mais precisa será a aproximação da integral.
Vamos escolher pelo menos 3 valores diferentes para , por exemplo: 10, 100 e 1000.

Passo 6

Vamos supor que queremos integrar a função de a . Sabemos que a integral exata dessa função é:
Vamos usar os métodos dos retângulos e dos trapézios para aproximar esse valor com , e .

Passo 7

Implementando o Método dos Retângulos:
  1. Calcular .
  2. Para cada de 1 a , calcular (usando o ponto médio).
  3. Calcular a soma .
Exemplo com :
Calculando cada termo e somando, teremos a aproximação.

Passo 8

Implementando o Método dos Trapézios:
  1. Calcular .
  2. Calcular e .
  3. Para cada de 1 a , calcular e somar .
  4. Calcular a soma total:
Exemplo com :
Calculando cada termo e somando, teremos a aproximação.

Passo 9

Resultados das Aproximações:
Após implementar ambos os métodos para , e , você obterá três valores aproximados para cada método. Compare esses valores com a integral exata para ver a precisão de cada método com diferentes resoluções.

Resposta

Seguindo os passos acima, ao implementar os métodos dos retângulos e dos trapézios com , e para a função no intervalo , você obtém aproximações cada vez mais próximas de , confirmando a eficiência dos métodos de integração numérica conforme aumentamos a resolução.

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