Utilize um programa para fazer as operações seguintes:
Faça a integração numérica utilizando o método dos retângulos e o método dos trapézios, ambos com várias resoluções numéricos (no mínimo 3)
Faça a integração numérica utilizando o método dos retângulos e o método dos trapézios, ambos com várias resoluções numéricos (no mínimo 3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para realizar integrações numéricas usando dois métodos diferentes: o método dos retângulos e o método dos trapézios. Para isso, vamos precisar de um programa de computador que consiga fazer esses cálculos. Vamos também variar a resolução numérica, ou seja, usar diferentes números de subdivisões para ver como isso afeta o resultado da integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é integração numérica. É uma técnica usada para calcular a área sob uma curva quando não podemos encontrar a integral exata de uma função de forma simples. Existem vários métodos para isso, e vamos focar em dois: o método dos retângulos e o método dos trapézios.
Passo 3
Método dos Retângulos: Nesse método, dividimos a área sob a curva em vários retângulos. A altura de cada retângulo é determinada pelo valor da função em um ponto específico dentro do intervalo. A soma das áreas desses retângulos nos dá uma aproximação da integral.
Matematicamente, a integral de
de
a
é aproximada por:
Onde:
-
é o número de retângulos. -
é a largura de cada retângulo. -
é o ponto onde calculamos a altura do retângulo.
Passo 4
Método dos Trapézios: Aqui, em vez de retângulos, usamos trapézios para aproximar a área sob a curva. A vantagem desse método é que ele considera a inclinação da curva, resultando em uma aproximação geralmente mais precisa.
A fórmula para o método dos trapézios é:
Onde:
- Os termos são os mesmos do método dos retângulos.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre resolução numérica. Isso se refere ao número de subdivisões
que usamos para dividir o intervalo
. Quanto maior for
, mais subdivisões teremos e, geralmente, mais precisa será a aproximação da integral.
Vamos escolher pelo menos 3 valores diferentes para
, por exemplo: 10, 100 e 1000.
Passo 6
Vamos supor que queremos integrar a função
de
a
. Sabemos que a integral exata dessa função é:
Vamos usar os métodos dos retângulos e dos trapézios para aproximar esse valor com
,
e
.
Passo 7
Implementando o Método dos Retângulos:
- Calcular
. - Para cada
de 1 a , calcular (usando o ponto médio). - Calcular a soma
.
Exemplo com
:
Calculando cada termo e somando, teremos a aproximação.
Passo 8
Implementando o Método dos Trapézios:
- Calcular
. - Calcular
e . - Para cada
de 1 a , calcular e somar . - Calcular a soma total:
Exemplo com
:
Calculando cada termo e somando, teremos a aproximação.
Passo 9
Resultados das Aproximações:
Após implementar ambos os métodos para
,
e
, você obterá três valores aproximados para cada método. Compare esses valores com a integral exata
para ver a precisão de cada método com diferentes resoluções.
Resposta
Seguindo os passos acima, ao implementar os métodos dos retângulos e dos trapézios com
,
e
para a função
no intervalo
, você obtém aproximações cada vez mais próximas de
, confirmando a eficiência dos métodos de integração numérica conforme aumentamos a resolução.
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Determine a corrente fornecida por uma linha de transmissão trifásica, com impedância igual a
/fase, a um motor de 15 HP operando a plena carga, com rendimento de
, fator de potência de
atraso e tensão de 440 V (tensão fase-fase de alimentação do motor). Determine: magnitude da tensão e potência complexa na entrada da linha de transmissão;
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/fase, a um motor de 15 HP operando a plena carga, com rendimento de
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Dada a função
e os intervalos
e
Faça a dupla integração de z nos intervalos dados (manualmente ou utilizando ferramentas de cálculo simbólico)
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Dada a função
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Faça a dupla integração de z numericamente (por exemplo com dblquad ou outros comandos ou programas) e descreve os resultados usando diferentes resoluções do método de integração numérica.
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