Dada a hélice circular
onde
, encontre o comprimento de arco
até
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da hélice circular dada por
onde
, no intervalo de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo de comprimentos de curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o comprimento de arco de uma curva parametrizada
de
a
é calculado pela integral:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
em relação a
, e
é a magnitude dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a magnitude de
:
Como
, podemos simplificar:
Isso significa que a magnitude é constante e igual a
.
Passo 5
Finalmente, calculamos o comprimento de arco integrando a magnitude de
de
a
:
Resposta
O comprimento de arco de
até
é
.
Exercícios relacionados
Determine se
é ponto crítico de
Resposta: Sim.
Determine a derivada das seguintes funções:
Resposta:
Utilize integração por partes para calcular:
Resposta:
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta: