Dada a hélice circular
sigma(t) = a cos(t) i + a sen(t) j + t k
onde a > 0, encontre o comprimento de arco t = 0 até t = 2*pi.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da hélice circular dada por
onde , no intervalo de até . Vamos usar conceitos de cálculo de comprimentos de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o comprimento de arco de uma curva parametrizada de a é calculado pela integral:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é a magnitude dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude de :
Como , podemos simplificar:
Isso significa que a magnitude é constante e igual a .

Passo 5

Finalmente, calculamos o comprimento de arco integrando a magnitude de de a :

Resposta

O comprimento de arco de até é .

Exercícios relacionados

Determine se x=1 é ponto crítico de
f(x)=integral0^raiz2+ln x e^t^2(t^2-2) d t
Resposta: Sim.
Determine a derivada das seguintes funções: G(x)=integralx^2^0 sen tt d t, Resposta: G^prime(x)=-2 sen(x^2)x
Utilize integração por partes para calcular: integral x(ln x)^3 d x Resposta: x^22[(ln x)^3-32(ln x)^2+32(ln x)-34]+c
Calcule as integrais indefinidas: integral 22 x-3 d x Resposta: ln |2 x-3|+c