Utilize integração por partes para calcular: integral x(ln x)^3 d x Resposta: x^22[(ln x)^3-32(ln x)^2+32(ln x)-34]+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher duas partes da nossa integral: uma para derivar ( ) e outra para integrar ( ). Vamos usar as propriedades de logaritmos e derivadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u = (ln x)^3 e dv = x , dx e . Uma boa regra é escolher como a parte que simplifica ao ser derivada. Aqui, parece uma boa escolha porque ao derivar, a potência diminui.
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx [(ln x)^3] , dx = 3(ln x)^2 cdot 1x , dx = 3(ln x)^2x , dx e v = integral x , dx = x^22 . Para isso, derivamos e integramos :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x(ln x)^3 , dx = x^22 (ln x)^3 - integral x^22 cdot 3(ln x)^2x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^22 (ln x)^3 - 32 integral x (ln x)^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = (ln x)^2 e dv = x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes, desta vez escolhendo:
du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = x^22
Derivando integral x (ln x)^2 , dx = x^22 (ln x)^2 - integral x^22 cdot 2 ln xx , dx e integrando = x^22 (ln x)^2 - integral x ln x , dx :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Precisamos resolver agora u = ln x e dv = x , dx . Mais uma vez, vamos usar integração por partes:
Escolhendo:
du = 1x , dx e v = x^22
Derivando e integrando:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x , dx
Aplicando a fórmula:
= x^22 ln x - 12 integral x , dx = x^22 ln x - 14 x^2
Simplificando:

Passo 7

Voltando aos passos anteriores, substituímos o resultado da última integral:
integral x (ln x)^2 , dx = x^22 (ln x)^2 - ( x^22 ln x - 14 x^2 )
Simplificando:
= x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + 14 x^2

Passo 8

Agora, voltamos à primeira integral que estávamos resolvendo:
integral x(ln x)^3 , dx = x^22 (ln x)^3 - 32 ( x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + 14 x^2 )
Distribuindo o = x^22 (ln x)^3 - 34 x^2 (ln x)^2 + 34 x^2 ln x - 38 x^2 :

Passo 9

Podemos fatorar = x^22 [ (ln x)^3 - 32 (ln x)^2 + 32 ln x - 34 ] + C para deixar a expressão mais bonita:

Resposta

integral x(ln x)^3 , dx = x^22[(ln x)^3 - 32 (ln x)^2 + 32 (ln x) - 34] + C

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