Utilize integração por partes para calcular:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher duas partes da nossa integral: uma para derivar (
) e outra para integrar (
). Vamos usar as propriedades de logaritmos e derivadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
. Uma boa regra é escolher
como a parte que simplifica ao ser derivada. Aqui,
parece uma boa escolha porque ao derivar, a potência diminui.
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
e integramos
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, desta vez escolhendo:
Derivando
e integrando
:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Precisamos resolver agora
. Mais uma vez, vamos usar integração por partes:
Escolhendo:
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Voltando aos passos anteriores, substituímos o resultado da última integral:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à primeira integral que estávamos resolvendo:
Distribuindo o
:
Passo 9
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais bonita:
Resposta
Exercícios relacionados
Dada a hélice circular
onde
, encontre o comprimento de arco
até
.
Determine se
é ponto crítico de
Resposta: Sim.
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Dada a cicloide descrita pelas equações,
encontre
e
no ponto em que
atinge o seu valor máximo para
no intervalo fechado
.