Dada a integral dupla
.
© Calcule a integral dupla para
.
© Calcule a integral dupla para
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado nos dá a integral dupla
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função que envolve o cosseno de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar métodos de substituição para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral está configurada com
variando de 0 a
e, para cada
,
varia de
a 1. Às vezes, trocar a ordem de integração pode simplificar o cálculo. Vamos visualizar a região de integração:
Para trocar a ordem, precisamos encontrar os novos limites onde
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:
Perceba que
não depende de
, então podemos simplificar a integral interna:
Passo 4
Agora, nossa integral reduzida é:
Vamos resolver essa integral usando substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Voltando para
, avaliamos os limites de
:
- Quando
, - Quando
,
Assim, a integral definida é:
Resposta
A integral dupla é igual a
. Aproximadamente, isso resulta em:
Então,
.