Dada a integral dupla integral0^1 / 2 integral2 y^1 f(x, y) d x d y.
© Calcule a integral dupla para f(x, y)=cos (x^2+3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado nos dá a integral dupla . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função que envolve o cosseno de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar métodos de substituição para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral está configurada com variando de 0 a e, para cada , varia de a 1. Às vezes, trocar a ordem de integração pode simplificar o cálculo. Vamos visualizar a região de integração:
Para trocar a ordem, precisamos encontrar os novos limites onde varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:
integral0^1 integral0^x2 cos(x^2 + 3) , dy , dx
Perceba que integral0^x2 cos(x^2 + 3) , dy = cos(x^2 + 3) cdot ( x2 - 0 ) = x2 cos(x^2 + 3) não depende de , então podemos simplificar a integral interna:

Passo 4

Agora, nossa integral reduzida é:
integral0^1 x2 cos(x^2 + 3) , dx
Vamos resolver essa integral usando substituição. Seja dudx = 2x Rightarrow x , dx = du2 . Então, a derivada de integral x2 cos(u) cdot du2x = 14 integral cos(u) , du = 14 sin(u) + C em relação a 14 [sin(4) - sin(3)] é:
Substituindo na integral:
Voltando para , avaliamos os limites de :
  • Quando ,
  • Quando ,
Assim, a integral definida é:

Resposta

A integral dupla é igual a sin(4) - sin(3)4 approx (-0.7568) - (0.1411)4 approx -0.89794 approx -0.2245 . Aproximadamente, isso resulta em:
Então, .

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