Considere a função f(x, y)=3 x^2+3 y^2, mostre que a função é diferenciável no ponto (1,3), utilizando o critério do erro.
Definição: A função f(x, y) é diferenciável no ponto (x0, y0) se as derivadas parciais partial f(x0, y0)partial x e partial f(x0, y0)partial y existem e se
lim (x, y) (x0, y0) E(x, y)|(x, y)-(x0, y0 |2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é diferenciável no ponto . Isso envolve entender derivadas parciais e o critério do erro para diferenciabilidade. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois verificar se o limite do erro dividido pela distância até o ponto é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x (3x^2 + 3y^2) = 6x em relação a partial fpartial y = partialpartial y (3x^2 + 3y^2) = 6y e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto partial fpartial x(1, 3) = 6 times 1 = 6 :
partial fpartial y(1, 3) = 6 times 3 = 18
Então, as derivadas parciais existem no ponto .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o critério do erro para verificar a diferenciabilidade. Precisamos mostrar que:
lim(x, y) (1, 3) E(x, y)|(x, y) - (1, 3)|2 = 0
Onde é o erro da aproximação linear da função.

Passo 5

O erro E(x, y) = f(x, y) - f(1, 3) - partial fpartial x(1, 3)(x - 1) - partial fpartial y(1, 3)(y - 3) é dado por:
f(1, 3) = 3(1)^2 + 3(3)^2 = 3 + 27 = 30
Vamos calcular cada termo:
partial fpartial x(1, 3)(x - 1) = 6(x - 1)
partial fpartial y(1, 3)(y - 3) = 18(y - 3)
E(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - 30 - 6(x - 1) - 18(y - 3)
Então,

Passo 6

Vamos simplificar E(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - 30 - 6x + 6 - 18y + 54 :
E(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - 6x - 18y + 30

Passo 7

Agora, reorganizando os termos:
E(x, y) = 3(x^2 - 2x) + 3(y^2 - 6y) + 30
Completando os quadrados:
E(x, y) = 3[(x - 1)^2 - 1] + 3[(y - 3)^2 - 9] + 30
E(x, y) = 3(x - 1)^2 - 3 + 3(y - 3)^2 - 27 + 30
E(x, y) = 3(x - 1)^2 + 3(y - 3)^2

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite:
lim(x, y) (1, 3) 3(x - 1)^2 + 3(y - 3)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2
Podemos fatorar o 3:
3 lim(x, y) (1, 3) (x - 1)^2 + (y - 3)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2
Simplificando a fração:
3 lim(x, y) (1, 3) raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 3 times 0 = 0

Resposta

Como o limite do erro dividido pela distância é zero, a função é diferenciável no ponto .

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