Considere a função
, mostre que a função é diferenciável no ponto
, utilizando o critério do erro.
Definição: A função
é diferenciável no ponto
se as derivadas parciais
e
existem e se
Definição: A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é diferenciável no ponto
. Isso envolve entender derivadas parciais e o critério do erro para diferenciabilidade. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois verificar se o limite do erro dividido pela distância até o ponto é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Então, as derivadas parciais existem no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o critério do erro para verificar a diferenciabilidade. Precisamos mostrar que:
Onde
é o erro da aproximação linear da função.
Passo 5
O erro
é dado por:
Vamos calcular cada termo:
Então,
Passo 6
Vamos simplificar
:
Passo 7
Agora, reorganizando os termos:
Completando os quadrados:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite:
Podemos fatorar o 3:
Simplificando a fração:
Resposta
Como o limite do erro dividido pela distância é zero, a função
é diferenciável no ponto
.