Calcule o determinante usando escalonamento e/ou expansão em cofatores de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz aumentada de tamanho 5x5 e pede para calcular o determinante dessa matriz usando escalonamento ou expansão por cofatores de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e aplicar métodos eficientes como escalonamento para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada é um valor que nos dá informações importantes sobre as propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não. Uma das formas de calcular o determinante é através do método de escalonamento, que envolve transformar a matriz em uma forma triangular (superior ou inferior) e então multiplicar os elementos da diagonal principal.
Passo 3
Vamos começar com a matriz dada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.
Passo 4
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posi��ão (1,1)). Para isso:
Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
Linha 5 = Linha 5 - Linha 1
Vamos fazer essas operações:
Linha 2: , , , ,
Linha 4: , , , ,
Linha 5: , , , ,
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo do segundo pivô, que é 1 na posição (2,2). Para isso:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
Linha 5 = Linha 5 + 2*Linha 2
Vamos realizar essas operações:
Linha 3: , , , ,
Linha 4: , , , ,
Linha 5: , , , ,
A matriz agora é:
Passo 6
Seguimos para a terceira coluna, onde o pivô é -3 na posição (3,3). Vamos usar a terceira linha para eliminar os elementos abaixo desse pivô:
Linha 4 = Linha 4 - () * Linha 3 = Linha 4 - ( ) * Linha 3
Linha 5 = Linha 5 - () * Linha 3 = Linha 5 - ( ) * Linha 3
Calculando:
Linha 4: , , , ,
Linha 5: , , , ,
Agora a matriz fica:
Passo 7
Agora, na quarta coluna, o pivô é na posição (4,4). Vamos usá-lo para eliminar o elemento abaixo:
Linha 5 = Linha 5 - () * Linha 4 = Linha 5 - () * Linha 4 = Linha 5 - () * Linha 4
Calculando:
Para o elemento na quarta coluna:
Para o elemento na quinta coluna:
Agora, a matriz triangular superior fica:
Passo 8
Agora que temos a matriz em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos: