Calcule o determinante usando escalonamento e/ou expansão em cofatores de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz aumentada de tamanho 5x5 e pede para calcular o determinante dessa matriz usando escalonamento ou expansão por cofatores de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e aplicar métodos eficientes como escalonamento para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada é um valor que nos dá informações importantes sobre as propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não. Uma das formas de calcular o determinante é através do método de escalonamento, que envolve transformar a matriz em uma forma triangular (superior ou inferior) e então multiplicar os elementos da diagonal principal.
Linha 5 = Linha 5 - () * Linha 3 = Linha 5 - ( ) * Linha 3
Calculando:
Linha 4: , , , ,
Linha 5: , , , ,
Agora a matriz fica:
Passo 7
Agora, na quarta coluna, o pivô é 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & -3 & 5 & 4 0 & 0 & 0 & 143 & 13 0 & 0 & 0 & 0 & -87 na posição (4,4). Vamos usá-lo para eliminar o elemento abaixo:
Linha 5 = Linha 5 - () * Linha 4 = Linha 5 - () * Linha 4 = Linha 5 - () * Linha 4
Calculando:
Para o elemento na quarta coluna:
Para o elemento na quinta coluna:
Agora, a matriz triangular superior fica:
Passo 8
Agora que temos a matriz em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos: