Dada a matriz abaixo:
Calcule o determinante usando escalonamento e/ou expansão em cofatores de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz aumentada de tamanho 5x5 e pede para calcular o determinante dessa matriz usando escalonamento ou expansão por cofatores de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e aplicar métodos eficientes como escalonamento para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada é um valor que nos dá informações importantes sobre as propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não. Uma das formas de calcular o determinante é através do método de escalonamento, que envolve transformar a matriz em uma forma triangular (superior ou inferior) e então multiplicar os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz dada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.

Passo 4

Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posi��ão (1,1)). Para isso:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1
Vamos fazer essas operações:
  • Linha 2: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
  • Linha 5: , , , ,
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para eliminar os elementos abaixo do segundo pivô, que é 1 na posição (2,2). Para isso:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 + 2*Linha 2
Vamos realizar essas operações:
  • Linha 3: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
  • Linha 5: , , , ,
A matriz agora é:

Passo 6

Seguimos para a terceira coluna, onde o pivô é -3 na posição (3,3). Vamos usar a terceira linha para eliminar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 4 = Linha 4 - ( ) * Linha 3 = Linha 4 - ( ) * Linha 3
  • Linha 5 = Linha 5 - ( ) * Linha 3 = Linha 5 - ( ) * Linha 3
Calculando:
  • Linha 4: , , , ,
  • Linha 5: , , , ,
Agora a matriz fica:

Passo 7

Agora, na quarta coluna, o pivô é na posição (4,4). Vamos usá-lo para eliminar o elemento abaixo:
  • Linha 5 = Linha 5 - ( ) * Linha 4 = Linha 5 - ( ) * Linha 4 = Linha 5 - ( ) * Linha 4
Calculando:
  • Para o elemento na quarta coluna:
  • Para o elemento na quinta coluna:
Agora, a matriz triangular superior fica:

Passo 8

Agora que temos a matriz em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos:
Calculando passo a passo:

Resposta

O determinante da matriz é 16.

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