Encontre, parametrize, se possível, e apresente como conjunto solução de sistemas lineares, as interseções entre:
Os planos (sigma1: x+y+z=0),(sigma2: x+2 y+3 z=0) e (sigma3: x-y=0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a interseção entre três planos:
  1. sigma1: x + y + z = 0
  2. sigma2: x + 2y + 3z = 0
  3. sigma3: x - y = 0
Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares para resolver isso. Precisamos montar um sistema de equações com essas três equações e encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas elas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema de equações:
x + y + z = 0 (1) x + 2y + 3z = 0 (2) x - y = 0 (3)

Passo 3

Vamos resolver o sistema usando o método de substituição. Da equação (3), temos que:
x = y (4)

Passo 4

Agora, substituímos x por y na equação (1):
y + y + z = 0 Rightarrow 2y + z = 0 (5)

Passo 5

Também substituímos x por y na equação (2):
y + 2y + 3z = 0 Rightarrow 3y + 3z = 0 (6)

Passo 6

Vamos simplificar a equação (6):
3y + 3z = 0 Rightarrow y + z = 0 (7)

Passo 7

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
2y + z = 0 (5) y + z = 0 (7)
Subtraindo a equação (7) da equação (5):
(2y + z) - (y + z) = 0 - 0 Rightarrow y = 0

Passo 8

Com y = 0, substituímos na equação (7):
0 + z = 0 Rightarrow z = 0

Passo 9

E, finalmente, com y = 0, da equação (4):
x = 0

Resposta

A interseção dos três planos é o ponto (0, 0, 0).

Exercícios relacionados