Dada a matriz aumentada do seguinte sistema linear:
Use o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em forma escalonada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz aumentada que representa um sistema de equações lineares. A matéria que vamos usar aqui é a eliminação de Gauss, que serve para transformar essa matriz em uma forma escalonada. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz para que, abaixo da diagonal principal, fiquem zeros.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro elemento da primeira linha, que é o pivô (no caso, o 2). A ideia é fazer com que todos os números abaixo desse pivô na primeira coluna sejam zeros. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.
Passo 3
Vamos transformar a primeira linha para que o pivô seja 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para a segunda linha, subtraímos a primeira linha dela mesma:
Passo 5
Fazemos o mesmo para a terceira linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (0.5). Primeiro, vamos transformar esse pivô em 1 dividindo toda a segunda linha por 0.5:
Passo 7
Com o segundo pivô igual a 1, vamos zerar os elementos abaixo dele na segunda coluna. Para a terceira linha, adicionamos 5.5 vezes a segunda linha:
Passo 8
Finalmente, observamos que a terceira linha já está com o terceiro pivô distinto de zero, então nossa matriz está na forma escalonada. Cada pivô está à direita do pivô acima dele e todos os elementos abaixo dos pivôs são zeros.